青岛版（六年制）五年级下册 七、包装盒——长方体和正方体 单元复习（知识点）

七包装盒长方体和正方体一、长方体和正方体1.长方体的特征(1)两个面相交的线叫作棱,三条棱相交的点叫作顶点。(2)长方体有6个面,并且每个面都是长方形(特殊情况下有相对的两个面是正方形)。(3)长方体有12条棱,相对的4条棱的长度相等。(4)长方体有8个顶点。(5)从一个方向观察一个长方体,最多能同时看到3个面,这3个面相交于一个顶点,相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫作长方体的长、宽、高。长方体的棱长之和=长4+宽4+高4=(长+宽+高)42.正方体的特征(1)正方体有6个面,它们是完全相同的正方形。(2)正方体有12条棱,所有棱的长度都相等。(3)正方体有8个顶点。公式: 正方体的棱长之和=棱长12正方体的棱长=正方体的棱长之和12二、长方体和正方体的表面积1.长方体的表面积长方体6个面的总面积,叫作它的表面积。长方体有6个面,且相对的两个面完全相同。从一个方向观察一个长方体,最多能同时看到3个面,只要计算出这三个面的面积,就能算出长方体的表面积。公式:长方体前、后每个面的面积=长高长方体上、下每个面的面积=长宽长方体左、右每个面的面积=宽高长方体的表面积=长宽2+宽高2+长高2=(长宽+宽高+长高)22.正方体的表面积(1)正方体6个面的总面积,叫作它的表面积。(2)正方体6个面是完全相同的正方形,只要计算出一个面的面积,乘6就可算出正方体的表面积。公式:正方体的表面积=棱长棱长6三、体积、容积单位及进率1.体积、体积单位间的进率(1)体积的意义:物体所占空间的大小叫作物体的体积。(2)体积单位:常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米,用字母表示分别为cm3、 dm3、 m3 。棱长为1厘米的正方体,体积是1立方厘米。如:一个手指尖的体积大约是1立方厘米,1粒花生米的体积大约是1立方厘米。棱长为1分米的正方体,体积是1立方分米。如:一个粉笔盒的体积大约是1立方分米。棱长为1米的正方体,体积是1立方米,如:装洗衣机的纸箱的体积大约是1立方米。(3)体积单位之间的进率。计量一个物体的体积,就要看这个物体含有多少个体积单位。1分米=10厘米,两个正方体的棱长相等,体积就相等。棱长是10厘米的正方体里有101010=1000(个)棱长为1厘米的正方体,棱长是10厘米的正方体,体积是1000立方厘米。1立方分米=1000立方厘米用同样的方法可推出:1立方米=1000立方分米2. 容积及容积单位之间的进率(1)容积的意义:容器所能容纳物体的体积,叫作它们的容积。(2)容积单位有升和毫升,分别用字母L和mL表示。计量物体的大小一般用体积单位,计量液体的体积常用容积单位。(3)1立方分米=1升1立方厘米=1毫升1升=1000毫升四、长方体和正方体的体积1.推导体积公式(1)计算一个物体的体积的大小,就要看这个物体含有“体积单位”的数量。把上图中的长方体和正方体切成以1立方厘米为体积单位的小正方体,数出含有“体积单位”的数量就知道了它们的体积大小。(2)通过切割发现,长方体所含小正方体体积单位的个数,同它本身的长、宽、高有一定关系,每排小正方体的个数相当于长方体的长;排数相当于长方体的宽;层数相当于长方体的高。所含体积单位的个数正好等于长方体长、宽、高的积。2.长方体、正方体的体积公式长方体的体积=长宽高,用字母表示:V=abh。正方体的体积=棱长棱长棱长,用字母表示:V=aaa=a3。(1)也可以把aaa写作“a3”,读作“a的立方”,表示3个a相乘。正方体的体积公式一般写成:V=a3。(2)长方体和正方体底面的面积叫作它们的底面积。用S表示底面积,V表示体积,高用h表示,则:长方体(或正方体)的体积=底面积高,用字母表示:V=Sh。3.长方体、正方体体积公式的变形长方体的高=体积(长宽),即h=V(ab)长方体的宽=体积(长高),即b=V(ah)长方体的长=体积(宽高),即a=V(bh)4.长方体、正方体容器的容积计算长方体或正方体容器的容积计算方法与体积的计算方法相同,但要从容器里面量长、宽、高。5.等体积变化问题生活中经常遇到一些物体(固体或液体)的形状发生了变化。但在变化的过程中,体积是没有变化的。如图所示用枚数相等的硬币分别摞成下面的形状,体积不变。五、测量不规则物体的体积 1.用排水法可以测量不规则物体的体积,放入不规则物体(被完全淹没)后水面上升,上升的那部分水的体积就是不规则物体的体积。2.拿出放入水中的不规则物体(被完全淹没)水面下降,下降的那部分水的体积就是不规则物体的体积。长方体的6个面中,相对的两个面完全相同。长方体的摆放方式不同,长、宽、高也不同。正方体是特殊的长方体。计算长方体某个面的面积时,注意根据相对的4条棱的长度相等,把长方体的长、宽、高对应到要计算的面上。对于看不到的面要利用“相对的两个面完全相同”转化到能看到的面上。简记长方体表面积公式:长、宽、高交叉相乘再相加,最后加括号乘2。无论是计算长方体的表面积,还是计算正方体的表面积,都要根据实际情况进行计算,注意面的个数是几个。所有的物体都占有一定的空间。立方厘米、立方分米、立方米,都是计量物体体积的单位,在计量一个物体的体积是多少时,就是看被测量的物体包含多少个什么样的体积单位,从而知道物体的体积是多少。 用棱长是1厘米的小正方体拼图形。用了几个小正方体,拼成的图形的体积就是几立方厘米。高级单位化低级单位乘进率;低级单位化高级单位除以进率。在填合适的单位时,先看该物体装的是液体还是固体,液体用容积单位,固体用体积单位,再看该物体的大小,大则用升或立方米作单位,小则用毫升或立方厘米作单位。把物体切割成若干个体积单位的大小,最后看切割成多少个体积单位,就能知道物体的体积具体是多少。通过这种方式,可以探索出切割数量与长方体或正方体体积之间的规律。特别要理解的是若切割出2个体积单位,则物体的体积就是2(立方厘米、立方分米或立方米),若切割出17个,则物体的体积就是17(立方厘米、立方分米或立方米),以此类推。已知长方体(正方体)的长、宽、高(棱长),就可以直接运用长方体(正方体)的体积公式进行计算。V=abh、V=a3、V=Sh这三个公式是相互联系的,前两个公式是第三个公式的基础。长方体体积公式中的长宽就是长方体的底面积,正方体体积公式中的棱长棱长是正方体的底面积,可以把另一条棱长看作高。因此第三个公式,包括了前两个公式。用这个公式既可以求长方体和正方体的体积,今后还可以用这个公式求其他柱体的体积。 在解答形状变化问题时,要抓住体积不变这个关键点进行解答。用排水法测量不规则物体的体积,根据水的体积不变,而物体占用水的空间,则排开水的体积就等于物体占水的空间,即物体的体积