人教版四年级上册数学小学鸡兔同笼问题.docx

小学鸡兔同笼问题n 鸡兔同笼:是我国古代著名趣题之一，记载于孙子算经之中。鸡兔同笼问题是小学奥数的常见题型。是指已知鸡与兔的总头数和总足数，求鸡和兔各是多少只的应用题。n 求解方法u 解决鸡兔同笼一般用“假设法”来求解。即假设全是鸡或是全是兔，然后根据出现的足数差，推算出鸡或兔的只数。最后求出另一种动物（鸡或兔）的只数。基本数量关系式，可分两个方面：假设全是鸡，则有：兔的只数=（总足数-2总头数）2；鸡的只数=总头数-兔子只数。假设全是兔，则有：鸡的只数=（4总头数-总足数）2；兔的只数=总头数-鸡的只数。u 鸡兔同笼公式:公式1：（兔的脚数总只数总脚数）（兔的脚数鸡的脚数）=鸡的只数总只数鸡的只数=兔的只数公式2：（总脚数鸡的脚数总只数）（兔的脚数鸡的脚数）=兔的只数总只数兔的只数=鸡的只数公式3：总脚数2总头数=兔的只数总只数兔的只数=鸡的只数公式4：鸡的只数=（4鸡兔总只数-鸡兔总脚数）2兔的只数=鸡兔总只数-鸡的只数公式5：兔总只数=（鸡兔总脚数-2鸡兔总只数）2鸡的只数=鸡兔总只数-兔总只数公式6：（头数x4-实际脚数）2=鸡公式7 ：4+2(总数x）=总脚数（x=兔，总数x=鸡数，用于方程）n 例题例1 、（古典题）鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？分析 如果 46只都是兔，一共应有 446=184只脚，这和已知的128只脚相比多了184-128=56只脚。如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少4-2=2（只）脚.那么，46只兔里应该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢？显然，562=28，只要用28只鸡去置换28只兔就行了。所以，鸡的只数就是28，兔的只数是46-28=18。解：鸡有多少只？（446-128）（4-2）=（184-128）2=562=28（只）免有多少只？46-28=18（只）答：鸡有28只，免有18只。这道题的解题思路：先假设它们全是兔.于是根据鸡兔的总只数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看相差多少.每差2只脚就说明有一只鸡；将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只鸡。我们称这种解题方法为假设法。解鸡兔同笼问题的基本关系式是：鸡数=（每只兔脚数 兔总数- 实际脚数）（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）兔数=鸡兔总数-鸡数当然，也可以先假设全是鸡。例2 、鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？分析这个例题与前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而是给出了它们脚数的差.这又如何解答呢？假设100只全是鸡，那么脚的总数是2100=200（只）这时兔的脚数为0，鸡脚比兔脚多200只，而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此，鸡脚与兔脚的差数比已知多了（200-80）=120（只），这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加2只，兔的脚数减少4只.那么，鸡脚与兔脚的差数增加（2+4）=6（只），所以换成鸡的兔子有1206=20（只）.有鸡（100-20）=80（只）。解：（2100-80）（2+4）=20（只）。100-20=80（只）。答：鸡与兔分别有80只和20只。n 小知识中国古代孙子的解法“上置三十五头，下置九十四足。半其足得四十七。以少减多，再命之，上三除下四，上五除下七。下有一除上三，下有二除上五，即得”。翻译成算术方法就是：兔数（942）3512鸡数351223这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已。这种思维方法叫化归法。化归法就是在解决问题时，先不对问题采取直接的分析，而是将题中的条件或问题进行变形，使之转化，直到最终把它归成某个已经解决的问题。美国数学家美国杰出数学教育家G ?波利亚对这种解法创设了教学情景：意外地看见笼中的禽畜正在作一种古怪的姿式，每一只鸡都用一条腿站着，而每一只兔子都用其（两条）后腿站着，在这个不寻常的情况下，只用了半数的腿，即47条腿。在70这个数目中，鸡的头只计算了一次，而兔子的头则计算了两次，从47这个数减去所有头数35，就剩下兔子的头数了。当然，鸡的只数可立刻求出。这种解法是巧妙的，但它需要清晰地掌握题中的数量关系，不是所有学生都能理解的