人教版初中数学九年级下册第二十六章反比例函数26.2实际问题与反比例函数教案新版新人教版.docx

26.2实际问题与反比例函数1.能够根据具体实际问题情景确定变量之间的反比例关系,并求出反比例函数解析式.2.能灵活运用反比例函数的意义和性质解决相关的实际问题.3.能综合运用几何、方程、不等式、反比例函数知识以及物理等跨学科知识解决相关的实际问题.1.经历利用反比例函数解决实际问题的过程,学会用数学的思想方法去观察、研究和解决日常生活中所遇到的问题,体验数学建模的思想.2.体会数学与实际生活紧密联系,经历将实际问题抽象为数学问题的过程,体会数学中转化和数形结合的思想.3.经历“实际问题建立模型求解模型拓展应用”的过程,增强学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力.1.通过将反比例函数的有关知识灵活应用于实际,让学生体会到学习数学的价值,从而提高学生学习数学的兴趣,并获得成就感.2.通过小组合作交流学习,共同探究反比例函数在实际中的应用,提高合作意识,培养创新精神.【重点】从实际问题中建立反比例函数模型,运用反比例函数的意义和性质解决生活实际问题和跨学科问题.【难点】根据实际问题情景建立反比例函数的数学模型.第课时1.能够根据实际问题情景建立反比例函数的模型.2.能灵活运用反比例函数的意义和性质解决生活实际问题.1.通过探究生活中的实际问题,让学生体会数学建模思想的构建.2.通过探究反比例函数解决实际问题,体会数学知识的现实意义,提高分析问题、解决问题的能力,培养数学应用意识.1.通过将反比例函数的性质灵活应用于实际,让学生体会学习数学的价值,从而提高学生学习数学的兴趣.2.通过小组合作交流,提高合作意识,培养创新精神.3.让学生体会数学知识与现实世界的联系.【重点】从实际问题中建立反比例函数模型,运用反比例函数的意义和性质解决实际问题.【难点】根据具体实际问题情景建立反比例函数的模型.导入一:【复习提问】1.我们学习了反比例函数的哪些内容?完成下列填空:(1)反比例函数的定义是.(2)反比例函数的图象是,当k0时,；当k0时,t越小,v越大.这样若货物不超过5天卸载完,则平均每天至少要卸载48吨.解法2:(2)由v=240t,得t=240v.因为t5,所以240v5,又v0,所以2405v,解得v48.解法3:(2)画出函数v=240t(t0)的图象,当t=5时,v=48.根据反比例函数图象的性质,在第一象限内,v随t的增大而减小,所以当00),所以该函数的图象为双曲线在第一象限内的一支.故选C.2.A解析:由题意知2xy=20,所以y=10x(2x10),反比例函数图象在第一象限内,并且y随x的增大而减小,当x=2时,y有最大值为5,当x=10时,y有最小值为1.故选A.3.y=2x(x0)解析:根据等量关系:长宽=矩形面积,得xy=2,所以y与x之间的函数解析式为y=2x,根据x的实际意义知x应大于0.故填y=2x(x0).4.解:(1)将(40,1)代入t=kv,得1=k40,解得k=40,所以函数解析式为t=40v.当t=0.5时,0.5=40m,解得m=80,所以k=40,m=80.(2)令v=60,得t=4060=23,结合函数图象可知,汽车通过该路段最少需要23 h.第1课时1.共同探究一2.共同探究二3.共同归纳一、教材作业二、课后作业【基础巩固】1.下列各问题,两个变量之间的关系不是反比例关系的是()A.小明完成100 m赛跑时,时间t(s)与他跑步的平均速度v(m/s)之间的关系B.菱形的面积为48 cm2时,它的两条对角线的长y(cm)与x(cm)之间的关系C.一个玻璃容器的容积为30 L时,所盛液体的质量m与所盛液体的密度之间的关系D.压力为600 N时,压强p与受力面积S之间的关系2.为了更好保护水资源,造福人类,某工厂计划建一个容积V(m3)一定的污水处理池,池的底面积S(m2)与其深度h(m)满足关系式:V=Sh(V0),则S关于h的函数图象大致是()3.某厂现有300吨煤,这些煤能烧的天数y与平均每天烧的吨数x之间的函数解析式为()A.y=300x(x0)B.y=300x(x0)C.y=300x(x0)D.y=300x(x0)4.已知矩形的面积为36 cm2,相邻的两条边长为xcm和y cm,则y与x之间的函数图象大致是()5.长方体的体积为103 m3,底面积为S,高度为d,则S与d之间的函数关系式为；当S=500时,d=.6.某一蓄水池的排水速度v(m3/h)与排完水池中的水所用的时间t(h)之间的函数关系图象是一支双曲线,图象过点(4,12),则此函数的解析式为.7.现有一批赈灾物资从A市运往B市,如果两市之间的路程为500 km,车的速度是x km/h,从A市运往B市所用的时间是y h,那么y与x之间的函数解析式是,且y是x的.8.将油箱注满k升油后,轿车行驶的总路程s(单位:千米)与平均耗油量a(单位:升/千米)之间是反比例函数关系s=ka(k是常数,k0).已知某轿车油箱注满油后,以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶,可行驶700千米.(1)求该轿车可行驶的总路程s与平均耗油量a之间的函数解析式.(2)当平均耗油量为0.08升/千米时,该轿车可以行驶多少千米?【能力提升】9.一个容积为180升的太阳能热水器,工作时间是y分钟,每分钟的排水量为x升,则y与x之间的函数解析式为,若热水器持续工作最长时间为1小时,则自变量x的取值范围是.10.一块长方体大理石板的A,B,C三个面上的边长如图所示(单位:米),如果大理石板的A面向下放在地上时地面所受压强为m帕,则把大理石板B面向下放在地上,地面所受压强是m帕.11.某商场出售一批进价为2元的贺卡,在市场营销中发现此商品的日销售单价x(单位:元)与日销售量y(单位:个)之间有如下关系:日销售单价x/元3456日销售量y/个20151210(1)根据表中数据试确定y与x之间的函数关系式,并画出图象；(2)设经营此贺卡的销售利润为W元,求出W与x之间的函数关系式.若物价局规定此贺卡的单价最高不能超过10元,请你求出当日销售单价x定为多少元时,才能获得最大日销售利润.【拓展探究】12.“保护生态环境,建设绿色社会”已经从理念变为人们的行动.某化工厂2018年1月的利润为200万元.设2018年1月为第1个月,第x个月的利润为y万元.由于排污超标,该厂决定从2018年1月底起适当限产,并投入资金进行治污改造,导致月利润明显下降, 从1月到5月,y与x成反比例.到5月底,治污改造工程顺利完工,从这时起,该厂每月的利润比前一个月增加20万元(如图).(1)分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y与x之间对应的函数表达式.(不用写出自变量取值范围)(2)治污改造工程完工后经过几个月,该厂月利润才能达到2018年1月的水平?(3)当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期,则该厂资金紧张期共有几个月?13.某药品研究所开发一种抗菌新药,经多年动物实验,首次用于临床人体实验.测得成人服药后血液中药物浓度y (微克/毫升)与服药时间x(时)之间的函数关系如图(当4x10时,y与x成反比).(1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；(2)血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为多少小时?【答案与解析】1.C解析:根据各小题中两个变量之间的关系列出函数关系式,解析式符合y=kx(k0)的形式即为反比例函数.函数关系式为t=100v,是反比例函数,A正确；函数关系式为12xy=48,y=96x,是反比例函数,故B正确；函数关系式为m=30,是正比例函数,C错误；函数关系式为p=600S,是反比例函数,D正确.故选C.2.C解析:由题意可得S=Vh,且h0,所以S关于h的函数图象是在第一象限内的反比例函数图象.故选C.3.A解析:根据题意得xy=300,所以y=300x,且x0.故选A.4.A解析:根据题意,得xy=36,即y=36x(x0),是一个反比例函数.故选A.5.S=103d2解析:因为体积V=Sd,所以S=Vd=103d,把S=500代入函数解析式得d=2.故填S=103d,2.6.v=48t(t0)解析:设函数解析式为v=kt,把(4,12)代入函数解析式得k=412=48,所以所求的函数解析式为v=48t.故填v=48t(t0).7.y=500x(x0)反比例函数解析:根据路程=速度时间,得xy=500,所以y=500x(x0),y是x的反比例函数.8.解:(1)由题意得a=0.1,s=700,代入反比例函数关系式,解得k=sa=70,函数关系式为s=70a.(2)将a=0.08代入s=70a得s=70a=700.08=875,故该轿车可以行驶875千米.9.y=180xx3解析:工作时间y(分)每分钟的排水量x(升)=总容量,所以可得出y与x的解析式为y=180x,热水器可连续工作的最长时间为1小时,即00),图象略.(2)W=(x-2)y=-120x+60,因为00),将(8,6)代入得6=8k1,k1=34.设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y=k2x(k20),将(8,6)代入得6=k28,k2=48,药物燃烧时y关于x的函数关系式为y=34x(0x8),药物燃烧后y关于x的函数关系式为y=48x(x8).(2)结合实际,令y=48x中y=1.6得x=30,即从消毒开始,至少经过30分钟后学生才能进入教室.(3)把y=3代入y=34x,得x=4；把y=3代入y=48x,得x=16.16-4=1210,这次消毒是有效的.第课时1.能根据与其他学科联系的公式确定反比例关系,并求出反比例函数的解析式.2.能够根据实际问题情景建立反比例函数的模型,解决与其他学科知识相联系的问题.1.通过探究与其他学科相联系的实际问题,让学生体会数学建模思想的构建.2.通过探究反比例函数解决实际问题,体会数学知识的现实意义,提高分析问题、解决问题的能力,培养数学应用意识.1.通过将反比例函数知识灵活应用于其他学科,让学生体会学习数学的价值,从而提高学生学习数学的兴趣.2.通过小组合作交流,提高合作意识,培养创新精神,同时感受数学模型思想在实际问题中的应用价值.【重点】利用反比例函数的知识解决跨学科问题.【难点】根据实际问题情景建立反比例函数的数学模型.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P1415.导入一:【复习提问】(1)反比例函数y=6x的图象形状、位置、增减性是怎样的?当x=3时,y=；当y=3时,x=.(2)结合一个反比例函数实例,说说反比例函数两个变量之间的关系.【师生活动】教师出示问题后,学生独立思考回答,教师点评.导入二:有一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳,当改变容器的体积时,气体的密度也会随之改变,密度(单位:kg/m3)是体积V(单位:m3)的反比例函数,它的图象如图所示,当V=2 m3时,气体的密度是多少?【导入语】数学与物理、化学学科紧密相连,如何用数学知识解决这样的物理、化学问题,通过今天的学习,我们可以轻松解决.导入三:“给我一个支点,我可以撬动地球”是古希腊科学家阿基米德说的一句话,他发现若杠杆上的两物体与支点的距离和其重量成反比,则杠杆平衡.后来人们把它归纳为“杠杆原理”.通俗地说,杠杆原理为:阻力阻力臂=动力动力臂.当阻力和阻力臂不变,动力与动力臂有怎样的函数关系?设计意图通过复习反比例函数的图象和性质,理解反比例函数两个变量之间的关系,为本节课的例题学习做好准备.以物理学科中密度问题导入新课,让学生体会数学与物理学科密切相关,由科学家阿基米德著名的杠杆原理导入新课,为本节课的例题提供理论依据,同时激发学生学习的兴趣.过渡语应用杠杆原理,可以解决与杠杆有关的实际问题,让我们一起探究下边和杠杆有关的实际问题吧!一、共同探究一【课件展示】小伟欲用撬棍撬动一块大石头,已知阻力和阻力臂分别为1200 N和0.5 m.(1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系?当动力臂为1.5 m时,撬动石头至少需要多大的力?(2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半,则动力臂l至少要加长多少?思路一教师引导学生思考回答下列问题.(1)杠杆原理中的等量关系是什么?(2)阻力和阻力臂一定时,其乘积是常数,动力F与动力臂l有怎样的函数关系?(3)如何求动力F与动力臂l之间的函数解析式?(4)当自变量l=1.5时,你能否求出对应的函数值F?(5)在动力F与动力臂l的函数关系中,函数值随自变量的增大怎样变化?(6)“动力F不超过题(1)中所用力的一半”的含义是什么意思?(7)你能结合函数图象,用方程思想求解(2)吗?(8)你还能用不等式等其他方法求解(2)吗?【师生活动】学生在教师提出的问题引导下,思考并回答问题,教师点评答案,及时纠正学生回答中的错误,然后学生完成解题过程,教师通过课件展示解题过程.思路二独立完成下列填空后,尝试解答该题.“杠杆原理”是,即Fl=,故F与l之间的函数解析式为,所以当l=1.5 m时,F=.“动力F不超过题(1)中所用力的一半”即F ,因为函数F随自变量l增大而,所以动力臂至少为m,即动力臂至少要加长m.【师生活动】学生独立思考后尝试完成该题的解答,然后小组内成员对解答过程和解题思路进行讨论交流,教师在巡视过程中对学生的困难给予帮助,及时发现小组中不同的解题方法,并示意板书解题过程,对学生的板书点评指导.解:(1)根据“杠杆原理”,得Fl=12000.5,所以F关于l的函数解析式为F=600l.当l=1.5 m时,F=6001.5=400(N).对于函数F=600l,当l=1.5 m时,F=400 N,此时杠杆平衡.因此,撬动石头至少需要400 N的力.(2)对于函数F=600l,F随l的增大而减小.因此,只要求出F=200 N时对应的l的值,就能确定动力臂l至少应加长的量.当F=40012=200时,由200=600l得:l=600200=3,3-1.5=1.5(m).对于函数F=600l,当l0时,l越大,F越小.因此,若想用力不超过400 N的一半,则动力臂至少要加长1.5 m.另解:由F=600l得l=600F,因为F200,所以l3,3-1.5=1.5(m),所以若想用力不超过400 N的一半,则动力臂至少要加长1.5 m.【追加思考】此题利用反比例函数知识解释:为什么使用撬棍时,动力臂越长越省力?【师生活动】学生思考后小组讨论交流,教师点评得出结论:对于函数F=600l,当l0时,F随l的增大而减小,所以使用撬棍时,动力臂越长越省力.设计意图本例利用数学知识解决物理问题,让学生感受数学知识在物理中的应用,促使学生主动尝试从数学的角度运用所学知识寻求解决问题的方法策略,培养学生建模思想的构建,提高学生解决问题的能力和应用意识.二、共同探究二【课件展示】一个用电器的电阻是可调节的,其范围为110220 ,已知电压为220 V,这个用电器的电路图如图.(1)功率P与电阻R有怎样的函数关系?(2)这个用电器的功率的范围是多少?思路一教师引导学生分析:(1)电学知识中,用电器的功率P(W)、电阻R()、两端的电压U(V)之间的等量关系式是PR=,也可以写成P=,或R=.(2)由(1)得功率P与电阻R之间的关系为.(3)由反比例函数性质可得功率P随着电阻R的增大而.(4)当电阻最小R=110 时,功率有最值,P=,当电阻最大R=220 时,功率有最值,P=,所以用电器功率的范围是.【师生活动】学生在教师的问题的引导下思考回答问题,然后完成解题过程,小组代表板书,教师对学生的回答给予评价和指导,并对学生的板书过程进行点评.解:(1)根据电学知识,当U=220时,得P=2202R.(2)根据反比例函数性质可知,电阻越大,功率越小.把电阻的最小值R=110代入P=2202R,得到功率的最大值,P=2202110=440(W)；把电阻的最大值R=220代入P=2202R,得到功率的最小值,P=2202220=220(W).因此用电器功率的范围为220440 W.思路二【思考】(1)电学知识中,用电器的功率P(W)、电阻R()、两端的电压U(V)之间的等量关系是什么?(2)你能根据上边的等量关系写出功率P与电阻R之间的函数解析式吗?(3)根据反比例函数性质,功率P随电阻R的增大怎样变化?(4)当电阻R取最小值时,对应的函数值P有最小值还是最大值?当电阻R最大时呢?(5)自变量R的取值范围是什么?对应的函数值P的取值范围是什么?【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,共同探究解题过程,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的展示进行点评.【追问】为什么收音机的音量、某些台灯的亮度以及电风扇的转速可以调节?【师生活动】学生小组讨论后,大家积极发表自己的见解,教师及时点评.【结论】收音机的音量、某些台灯的亮度以及电风扇的转速都由这些电器的输出功率决定,在电压一定的情况下,用电器的输出功率是用电器电路中电阻的反比例函数.设计意图通过物理学科中已学过的电学公式,建立公式与反比例函数之间的联系,用反比例函数知识解决跨学科问题,感受数学在现实生活中的应用,激发学生学习数学的兴趣,提高学生应用数学解决问题的能力.知识拓展(1)在利用反比例函数解决跨学科问题时,要根据物理、化学等学科中的公式建立函数关系式,再根据需要进行变形或计算.(2)本节知识用到了转化思想及数学建模思想,如将实际问题中的数量关系转化为数学问题中的函数关系.1.建立反比例函数模型,解决跨学科问题一般步骤:(1)审题:弄清题意,分析问题中等量关系；(2)建模:根据等量关系,将跨学科问题转化为数学问题,利用反比例函数知识建立数学模型.(3)解模:根据反比例函数的性质解决问题.2.本节课用到的思想和方法.1.一定质量的干松木,当它的体积V=2 m3时,它的密度=0.5103 kg/m3,则与V的函数关系式是()A.=1000VB.=V+1000C.=500VD.=1000V2.如果变阻器两端电压不变,那么通过变阻器的电流y(A)与电阻x()之间的函数关系图象大致是()3.二氧化碳的密度(kg/m3)关于其体积V(m3)的函数关系如图所示,那么函数关系式是.4.在压力不变的情况下,某物体承受的压强p(Pa)是它的受力面积S(m2)的反比例函数,其图象如图.(1)求p与S之间的函数关系式.(2)求当S=0.5 m2时物体承受的压强p.(3)若要获得2500 Pa的压强,受力面积应为多少?【答案与解析】1.D解析:根据物理知识得=mV,体积V=2 m3时,它的密度=0.5103 kg/m3,m=20.5103=1000,=1000V.故选D.2.B解析:依题意,得电压(U)=电阻(x)电流(y),当U一定时,可得y=Ux(x0,y0),函数图象为双曲线在第一象限的部分.故选B.3.=9.9V解析:由题意得与V成反比例函数的关系,设=kV,根据图象信息可得当=0.5时,V=19.8,k=V=19.80.5=9.9,即可得=9.9V.故填=9.9V.4.解:(1)设p=kS.点(0.25,1000)在这个函数的图象上,1000=k0.25,k=250,p与S的函数关系式为p=250S(S0).(2)当S=0.5 m2时,p=2500.5=500(Pa).(3)令p=2500,S=2502500=0.1(m2) .第2课时1.共同探究一例12.共同探究二例2一、教材作业二、课后作业【基础巩固】1.一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体,密度(单位:kg/m3)与体积V(单位:m3)满足函数关系式 =kV(k为常数,k0),其图象如图,则k的值为()A.9B.-9C.4D.-42.用电器的输出功率P与通过的电流I、用电器的电阻R之间的关系是P=I2R,下面说法正确的是()A.当P为定值时,I与R成反比例B.当P为定值时,I2与R成反比例C.当P为定值时,I与R成正比例D.当P为定值时,I2与R成正比例3.某同学做物理实验,他使用的蓄电池的电压为定值,电流I(A)与电阻R()的关系如图,若该电路内的用电器限制电流不得超过8 A,则此用电器的可变电阻R()的范围应为()A.R5C.R5D.R54.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压p(单位:kPa)是气体体积V(单位:m3)的反比例函数,其图象如图.当气球内的气压大于120 kPa时,气球将爆炸.为了安全起见,气球的体积应()A.不大于54 m3B.大于54 m3C.不小于45 m3D.小于54 m35.近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例,已知200度近视眼镜的镜片焦距为0.5 m,则y与x之间的函数关系式是.6.将50 N的压力作用在1 cm2的面积上所产生的压强是Pa,如果保持压力不变,要产生5103 Pa的压强应使受力面积变为cm2.7.实验表明,当导线的长度一定时,导线的电阻与它的横截面面积成反比例,一条长为100 km的铝导线的电阻R()与它的横截面面积S(cm2)的函数关系如图,那么当S=5 cm2时,R