人教版初中数学九年级下册第二十八章锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用教案新版新人教版.docx

28.2解直角三角形及其应用1.理解直角三角形中五个元素之间的关系及什么是解直角三角形.2.会利用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.3.了解仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等有关概念,知道坡度与坡角之间的关系.4.经历对实际问题的探究,会利用解直角三角形的知识解决实际问题.5.在具体情景中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识解决简单实际问题.1.综合运用所学知识解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.培养学生思维能力的灵活性.2.通过学习,发展分析、归纳、抽象、概括的能力,培养学生从已有的知识、特殊图形中去感知、迁移.3.通过画示意图,将实际问题转化为数学问题,发展学生的抽象概括能力,提高应用数学知识解决实际问题的能力.4.经历从实际问题中建立数学模型的过程,增强应用意识,体会数形结合思想的应用.1.在探索解直角三角形的过程中,渗透数形结合思想,培养学生综合运用知识的能力和良好的学习习惯.2.在探究活动中,培养学生的合作交流意识,让学生在学习中感受成功的喜悦,增强学习数学的信心.3.通过根据实际问题画示意图的过程,培养学生的动手能力,激发学生对数学的好奇心和求知欲.4.通过将实际问题转化为数学问题,培养建模思想,提高分析问题、解决问题的能力.5.调动学生学习数学的积极性和主动性,培养学生认真思考等学习习惯,形成实事求是的科学态度.【重点】1.理解解直角三角形的概念,掌握解直角三角形的方法.2.用三角函数有关知识解决仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等有关问题.3.能根据题意画出示意图,将实际问题的数量关系转化为直角三角形元素之间的关系.【难点】理解并掌握解直角三角形的方法；正确理解题意,将实际问题转化为数学模型.28.2.1解直角三角形1.理解直角三角形中五个元素之间的关系及什么是解直角三角形.2.会利用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.1.综合运用所学知识解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.2.通过学习,发展分析、归纳、抽象、概括的能力,培养学生从已有的知识、特殊图形中去感知、迁移.1.在探索解直角三角形的过程中,渗透数形结合思想,培养学生综合运用知识的能力和良好的学习习惯.2.在探究活动中,培养学生的合作交流意识,让学生在学习中感受成功的喜悦,增强学习数学的信心.【重点】理解解直角三角形的概念,掌握解直角三角形的方法.【难点】理解并掌握解直角三角形的方法.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习、记忆特殊三角函数值.导入一:【复习提问】1.在RtABC中,C=90,A,B,C所对的边分别为a,b,c,则a,b,c,A,B这五个元素之间有哪些等量关系呢?【学生活动】学生独立思考后,小组合作交流,小组代表回答问题,教师点拨,并归纳五个元素之间的关系.【课件展示】(1)三边之间关系:a2+b2=c2(勾股定理)；(2)两锐角之间关系:A+B=90；(3)边角之间关系:sinA=ac,cosA=bc,tanA=ab.2.回忆30,45,60角的正弦、余弦、正切值.导入二:在本章引言中我们曾经描述过比萨斜塔倾斜程度的问题,把1972年的情形抽象为数学问题为:设塔顶中心点为B,塔身中心线与垂直中心线的夹角为A,过点B向垂直中心线引垂线,垂足为C(如图).在RtABC中,C=90,BC=5.2m,AB=54.5m,求A的度数.【师生活动】学生独立思考后回答,教师点评.sinA=BCAB=5.254.50.0954.利用计算器可得A528.【追问】在RtABC中,你还能求出其他的边和角吗?【师生活动】学生思考后回答解题思路,教师把问题一般化,引出本节课课题.过渡语一般地,在直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角.在直角三角形中,已知三角形的一些边角元素,我们可以求解直角三角形中的其他元素,什么情况能求解、如何求解就是我们这节课要学习的主要内容.设计意图通过回顾直角三角形中边与角、边与边、角与角之间的数量关系,为本节课的学习做好铺垫,以实际问题导入新课,体会数学来源于生活,激发学生学习兴趣,同时通过已知直角三角形的一些元素求出直角三角形的其他元素,很自然地过渡到本节课的课题.一、共同探究思路一探究:(1)在RtABC中,A=60,AB=30,你能求出这个直角三角形的其他元素吗?(2)在上图中,若AC=2,BC=6,你能求出这个直角三角形的其他元素吗?(3)在上图中,若A=60,B=30,你能求出这个直角三角形的其他元素吗?(4)在直角三角形中,知道几个元素就可以求出其他元素?【师生活动】小组合作交流解题思路,注意在解题过程中方法的多样性,教师根据学生的回答进行汇总归纳.【课件展示】(1)在直角三角形的六个元素中,除直角外的五个元素,只要知道两个元素(其中至少有一条边),就可以求出其余的三个未知元素.(2)定义:由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形.(3)解直角三角形,只有两种:已知两条边；已知一条边和一个锐角.思路二【思考】如图,在RtABC中,C=90,已知直角三角形的几个元素可以求出其他元素?(1)已知直角三角形中的一个元素,能求其他元素吗?(2)已知直角三角形中的两个元素,有几种可能的情况?(一边和一角、两边、两角)(3)举例说明已知直角三角形的两个元素,怎样求其他元素?(4)你能归纳解直角三角形有几种基本类型吗?具体解法步骤是什么?【师生活动】学生在教师提出的问题的引导下,小组合作交流,回答解题思路,教师根据学生的回答进行汇总归纳,学生回答问题过程中注意解题方法的多样性.【课件展示】(1)在直角三角形的六个元素中,除直角外的五个元素,只要知道两个元素(其中至少有一条边),就可以求出其余的三个未知元素.(2)定义:由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形.(3)解直角三角形,只有两种:已知两条边；已知一条边和一个锐角.(4)解直角三角形的步骤:图形已知类型已知条件解法步骤两边斜边,一直角边(如c,a)(1)b=c2-a2(2)由sin A=ac求A(3)B=90-A两直角边(a,b)(1)c=a2+b2(2)由tan A=ab求A(3)B=90-A一边一角斜边,一锐角(如c,A)(1)B=90-A(2)由sin A=ac,得a=csin A(3)由cos A=bc,得b=ccos A一直角边,一锐角(如a,A)(1)B=90-A(2)由tan A=ab,得b=atanA(3)由sin A=ac,得c=asinA设计意图学生在教师问题的引导下思考分析,合作交流并归纳结论,学生经历概念的形成过程,理解掌握解直角三角形的概念,提高学生分析问题的能力,培养学生的发散思维能力.二、例题讲解如图,在RtABC中,C=90,AC=2,BC=6,解这个直角三角形.教师引导分析:(1)已知线段AC,BC是A的邻边和对边,用哪个三角函数可以表示它们之间的等量关系?(2)已知A的三角函数值可以求A的度数吗?(3)已知A的度数怎样求B的度数?(4)你有几种方法可以求斜边AB的长?【学生活动】思考后独立完成,小组内交流答案,小组代表板书过程.【课件展示】解:tanA=BCAC=62=3,A=60,B=90-A=90-60=30,AB=2AC=22.如图,在RtABC中,C=90,B=35,b=20,解这个直角三角形(结果保留小数点后一位).教师引导分析:由B=35,可得A=；由B=35及它的对边b=20,根据可得a=；由B=35及它的对边b=20,根据可得c=.【追问】你还有其他方法求c的值吗?【学生活动】在教师提出的问题的引导下,独立完成解答过程,小组内交流答案,组长指出组内成员的错误,并帮助改正.教师对学生的板书进行点评,强调规范性,并鼓励学生用多种方法求解.【课件展示】解:A=90-B=90-35=55.tanB=ba,a=btanB=20tan3528.6.sinB=bc,c=bsinB=20sin3534.9.设计意图通过例题理解和掌握解直角三角形的思路和方法,进一步训练学生学会灵活运用直角三角形的有关知识解直角三角形,并体会从计算简便的角度选用适当的关系式求解,同时提高学生分析问题和解决问题的能力,通过规范书写过程,培养学生严谨的学习态度.知识拓展(1)直角三角形中一共有六个元素,即三条边和三个角,除直角外,另外的五个元素中,只要已知一条边和一个角或两条边,就可以求出其余的所有未知元素.(2)运用关系式解直角三角形时,常用到下列变形:锐角之间的关系:A=90-B,B=90-A.三边之间的常用变形:a=c2-b2,b=c2-a2,c=a2+b2.(3)边角之间的常用变形:a=csinA,b=ccosA,a=btanA,a=ccosB,b=csinB,b=atanB.(4)虽然求未知元素时可选择的关系式有很多种,但为了计算方便,最好遵循“先求角后求边”和“宁乘不除”的原则.(5)选择关系式时要尽量利用原始数据,以防“累积误差”.(6)遇到不是直角三角形的图形时,要适当添加辅助线,将其转化为直角三角形求解.1.解直角三角形的概念2.直角三角形中五个元素之间的关系:(1)三边之间关系:a2+b2=c2(勾股定理)；(2)两锐角之间关系:A+B=90；(3)边角之间关系:sinA=ac,cosA=bc,tanA=ab.3.解直角三角形的基本类型及解法步骤(参考前面表格).1.由直角三角形中已知的元素,求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形.已知一个直角三角形中:(1)两条边的长度；(2)两个锐角的度数；(3)一个锐角的度数和一条边的长度.利用上述条件中的一个,能解这个直角三角形的是()A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)2.在ABC中,a,b,c分别是A,B,C的对边,如果a2+b2=c2,那么下列结论正确的是()A.csinA=aB.bcosB=cC.atanA=bD.ctanB=b3.在RtABC中,C=90,B=30,BC=6,则AB的长为.4.根据下列条件解直角三角形.(1)在RtABC中,C=90,b=4,c=8；(2)在RtABC中,C=90,A=60,a=12.【答案与解析】1.B 解析:能解的直角三角形有两种:已知两边；已知一边和一锐角.故选B.2.A 解析:由a2+b2=c2,得C=90,sin A=ac,cos B=ac,tan A=ab,tan B=ba,csin A=a,ccos B=a,btan A=a,atan B=b.故选A.3. 43解析:cos B=BCAB=32,BC=6,AB=BCcosB=43.4.解:(1)C=90,b=4,c=8,a=c2-b2=82-42=43.cos B=ac=32,B=30,A=180-90-30=60.(2)C=90,A=60,B=180-90-60=30.tan A=tan 60=ab=3,a=12,b=43,c=2b=83.28.2.1解直角三角形1.共同探究3.例题讲解例1例2一、教材作业二、课后作业【基础巩固】1.在RtABC中,C=90,sinA=12,则B等于()A.30B.45C.60D.902.在RtABC中,C=90,B=35,AB=7,则BC的长为()A.7sin35B.7cos35C.7cos35D.7tan353.在RtABC中,C=90,AC=1,BC=2,则下列结论正确的是()A.sinB=55B.cosB=25C.tanB=2D.AB=34.在RtACB中,C=90,AB=10,sinA=35,则BC的长为()A.6B.7.5C.8D.12.55.如果等腰三角形的底角为30,腰长为6cm,那么这个三角形的面积为()A.4.5cm2B.93cm2C.183cm2D.36cm26.在RtABC中,C=90,b=10,A=30,则a=.7.在RtABC中,C=90,AC=5,AB=52,则A=,BC=.8.如图,在RtABC中,斜边BC上的高AD=4,cosB=45,则AC=.9.根据下列条件解直角三角形.(1)在RtABC中,C=90,AB=10,BC=5.(2)在RtABC中,C=90,A=60,BC=3.10.如图,已知在ABC中,AD是BC边上的高,E为边AC的中点,BC=14,AD=12,sinB=45.求:(1)线段DC的长；(2)tanEDC的值.【能力提升】11.如图,在RtABC中,ACB=90,若AB=4,sinA=35,则斜边AB上的高CD为.12.如图,在ABC中,AB=2,AC=2,以点A为圆心,1为半径的圆与边BC相切于点D,则BAC的度数是.13.如图,在ABC中,A=30,B=45,AC=23,则AB的长为.14.如图,在菱形ABCD中,DEAB于点E,cosA=35,BE=4,求tanDBE的值.【拓展探究】15.如图,在RtABC中,ACB=90,CD是斜边AB上的中线,过点A作AECD,AE分别与CD,CB相交于点H,E,AH=2CH.(1)求sinB的值；(2)如果CD=5,求BE的长.【答案与解析】1.C解析:由sinA=12,得A=30,则B=90-A=60.故选C.2.C解析:cosB=BCAB=BC7,BC=7cosB=7cos35.故选C.3.A解析:在RtABC中,C=90,AC=1,BC=2,AB=5,sinB=55,cosB=255,tanB=12.故选A.4.A解析:C=90,AB=10,sinA=BCAB=35,BC=3510=6.故选A.5.B解析:如图,作底边上的高AD.若B=30,AB=6cm,则AD=ABsinB=612=3(cm),BD=ABcosB=632=33(cm).BC=2BD=63cm,SABC=12ADBC=12363=93(cm2).故选B.6.1033解析:cosA=bc=32,b=10,c=2033,a=12c=1033.7.455解析:cosA=ACAB=22,A=45.C=90,B=A=45,BC=AC=5.8.5解析:在RtABC中,cosB=45,sinB=35,tanB=sinBcosB=34.在RtABD中,AD=4,AB=ADsinB=435=203.在RtABC中,tanB=ACAB,AC=34203=5.9.解:(1)根据勾股定理可得AC=102-52=53,又sinA=BCAB=12,A=30,B=90-A=60.(2)在RtABC中,C=90,B=90-A=30.又sinA=BCAB=32,AB=2,由勾股定理可得AC=22-(3)2=1.10.解:(1)AD是BC边上的高,ABD和ACD都是直角三角形.在RtABD中,sinB=45,ADAB=45.又AD=12,AB=15,BD=AB2-AD2=9.又BC=14,CD=5.(2)在RtACD中,E为斜边AC的中点,ED=EC=12AC,C=EDC,tanEDC=tanC=ADDC=125.11.4825解析:在RtABC中,AB=4,sinA=35,BC=ABsinA=125.根据勾股定理得AC=AB2-BC2=165.SABC=12ACBC=12ABCD,CD=ACBCAB=1651254=4825.12.105解析:如图,连接AD,则ADBC.在RtABD中,AB=2,AD=1,则sinB=ADAB=12,B=30,BAD=60.同理,在RtACD中,得到CAD=45,因而BAC的度数是105.13. 3+3解析:如图,过C作CDAB于D,ADC=BDC=90.B=45,BCD=B=45,CD=BD.A=30,AC=23,CD=3,BD=CD=3,由勾股定理得AD=AC2-CD2=3,AB=AD+BD=3+3.14.解:四边形ABCD是菱形,AD=AB.cosA=35,BE=4,DEAB,设AD=AB=5x,AE=3x,则5x-3x=4,x=2,即AD=10,AE=6.在RtADE中,由勾股定理得DE=102-62=8.在RtBDE中,tanDBE=DEBE=84=2.15.解:(1)AECD,ACB=90,AHC=ACB=90.CD是AB上的中线,CD=AD=BD=12AB,DAC=DCA,B=DCB,B=CAH.AH=2CH,CHAHAC=125,sinB=sinCAH=CHAC=55.(2)由(1)可知ACBCAB=125,CEACAE=125.CD=5,AB=25,AC=2,BC=4,CE=1,BE=BC-CE=4-1=3.在教学设计中,通过回顾复习直角三角形中边与边、角与角、边与角之间的关系,为下一步解直角三角形打下基础,再通过解决比萨斜塔问题引入解直角三角形知识的必要性,激发学生学习本节课的学习兴趣,同时解决章前导入问题,做到首尾呼应.通过解含有特殊角的直角三角形的探究活动,归纳出解直角三角形的概念及基本形式和方法步骤,由浅入深地引导探究,学生更易于掌握本节课的重点和难点,同时培养了学生的归纳总结能力.通过例题学会灵活运用直角三角形知识解决问题,加深对解直角三角形的认识,培养学生分析问题、解决问题的能力及严谨地求学精神.本节课的重点是解直角三角形,教学设计中追求新理念在课堂中的应用,重视学生参与课堂,所以教学设计中以问题为引领,小组合作交流为主要教学活动形式,预期学生课堂气氛活跃,人人参与课堂,让每个学生体验成功的快乐,但在授课过程中过于追求形式,课堂中的讨论交流只是流于形式,所以在以后的教学活动中多关注学生小组交流时的效率.复习直角三角形三边之间的关系、角之间的关系及边角之间的关系,为本节课的学习打下基础,同时以生活实际问题导入新课,激发学生学习兴趣,调动学生学习的积极性.通过探究已知直角三角形的两个元素求其他元素的过程,很自然地引出解直角三角形的概念,学生经历概念的形成过程,更利于理解与掌握.例题的分析讲解,让学生体会解直角三角形的方法,提高学生学习能力,培养良好的思维习惯.更新教学理念,提高课堂效率(1)新课程改革要求:让学生通过交流、合作、讨论的方式,积极探索,改进学习方法,提高学习质量,逐步形成正确地数学价值观.以这一理念为前提,在教学设计中以解决章前比萨斜塔问题导入新课,让学生体会数学与生活之间的联系,激发学生的学习兴趣.在各个环节的教学设计中,始终以学生活动为主,教师只是课堂的引导者,通过动手操作、动脑思考、小组合作、共同归纳等数学活动,让学生参与课堂活动,注重学生对待学习的态度是否积极主动,注重以问题形式引导学生从数学的角度去思考问题,同时利用尝试教学,让学生暴露思维过程,通过学生之间的质疑解决问题.在课堂上留给学生足够的空间思考和展示自己,让学生在充满情感的、和谐的课堂氛围中体验成功的快乐,从而提高了学生在课堂上的学习效率.(2)本节课是解直角三角形的第一课时,在本章内容中起着承上启下的作用,通过前边学过的三角函数知识,结合勾股定理和直角三角形中的有关性质,求出直角三角形中的未知元素是本节课的重点,它是下节课解决实际问题的基础,要注重培养学生数学能力和数学思维的提高.如图,在RtABC中,C=90,点O在AB上,以O为圆心,OA长为半径的圆与AC,AB分别交于点D,E,且CBD=A,若ADAO=85,BC=2,求BD的长.解:连接DE.AE是O的直径,ADE=90.ADAO=85,cosA=ADAE=45.C=90,CBD=A,cosCBD=BCBD=45.BC=2,BD=52.如图,AC是矩形ABCD的对角线,AB=2,BC=23,点E,F分别是线段AB,AD上的点,连接CE,CF,当BCE=ACF,且CE=CF时,AE+AF=.433解析如图,作FGAC于G,易证BCEGCF,BE=GF,BC=CG.在RtABC中,tanACB=ABBC=223=33,ACB=30,AC=2AB=4,DAC=ACB=30.FGAC,AF=2GF,AE+AF=AE+2BE=AB+BE.设BE=x,在RtAFG中,AG=3GF=3x,AC=AG+CG=3x+23=4,解得x=433-2,AE+AF=AB+BE=2+433-2=433.28.2.2应用举例1.了解仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等有关概念,知道坡度与坡角之间的关系.2.经历对实际问题的探究,会利用解直角三角形的知识解决实际问题.3.在具体情景中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识解决简单实际问题.1.通过画示意图,将实际问题转化为数学问题,发展学生的抽象概括能力,提高应用数学知识解决实际问题的能力.2.经历从实际问题中建立数学模型的过程,增强应用意识,体会数形结合思想的应用.3.通过探究将实际问题转化为数学问题的过程,培养学生分析问题和解决问题的能力,培养学生思维能力的灵活性.1.通过根据实际问题画示意图的过程,培养学生的动手能力,激发学生对数学的好奇心和求知欲.2.通过自主学习、合作交流,体验成功的快乐,增强学习数学的自信心,培养学生勇于探索的创新精神.3.调动学生学习数学的积极性和主动性,培养学生认真思考等学习习惯,形成实事求是的科学态度.【重点】1.用三角函数有关知识解决仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等有关问题.2.能根据题意画出示意图,将实际问题的数量关系转化为直角三角形元素之间的关系.【难点】正确理解题意,将实际问题转化为数学问题.第课时1.了解仰角、俯角等有关概念,经历对实际问题的探究,会利用解直角三角形的知识解决实际问题.2.通过在具体情景中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识解决简单实际问题.1.经历将实际问题转化为数学问题的探究过程,提高应用数学知识解决实际问题的能力.2.通过探索用解直角三角形知识解决仰角、俯角等有关问题,让学生体会数学知识的发生、发展、应用过程,并发展学生的动手能力.3.经历从实际问题构建数学模型的过程,体会数学来源于生活又应用于生活.1.学生积极参与探索活动,并在探索过程中发表自己的见解,体会三角函数是解决实际问题的有效工具.2.通过探索三角函数在实际问题中的应用,感受数学来源于生活又应用于生活以及勇于探索的创新精神.3.让学生在自主探索、合作交流中获得成功的体验,建立自信心,让学生在解决问题的过程中体会学数学、用数学的乐趣.【重点】能根据题意画出示意图,将实际问题的数量关系转化为直角三角形元素之间的关系.【难点】正确理解题意,将实际问题转化为数学模型的建模过程.导入一:【复习提问】1.如图,在RtABC中,C=90,A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)三边a,b,c有什么关系?(2)A,B有怎样的关系?(3)边与角之间有怎样的关系?2.解直角三角形应具备怎样的条件?【师生活动】学生回答问题,教师点评归纳.导入二:如图,要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子AB的顶端,梯子与地面所成的角一般要满足5075.现有一架长6m的梯子.(1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙?(2)当梯子底端距离墙面2.4m时,等于多少度?此时人能否安全使用这架梯子?【师生活动】学生小组内讨论解题思路,小组代表回答解题思路,教师巡视中帮助有困难的学生,对学生的回答作出点评,然后导出新课.设计意图通过复习解直角三角形的有关知识,为本节课的用解直角三角形解决实际问题做好铺垫,以旧引新,帮助学生建立新旧知识间的联系,以解决生活实际问题引出新课,激发学生的好奇心和求知欲,感受数学应用的意义.过渡语刚才的导入中用解直角三角形的知识解决了实际生活问题,在生活实际中还有许多问题可以用解直角三角形的知识解决,让我们一起去探究吧!一、活动一2012年6月18日,“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行,如图,当组合体运行到地球表面P点的正上方时,从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置?最远点与P点的距离是多少(地球半径约为6400km,取3.142,结果取整数)?思路一师生合作探究:(1)从组合体上最远能直接看到的地球上的点,应该是视线与地球相切时的切点.(2)根据题意画出平面图形.(3)所要求的距离是图形中的哪条线段的长度?(4)已知中有哪些条件?求弧长需要知道哪些条件?(5)弧所对的圆心角在哪个三角形中?你能求出这个角的度数吗?(如图,O表示地球,点F是组合体的位置,FQ是O的切线,切点Q是从组合体中观测地球时的最远点.弧PQ的长就是地面上P,Q两点间的距离.为计算弧PQ的长需先求出POQ(即)的度数)【师生活动】教师通过提出的问题引导学生分析思考,指导学生画出平面图形,分析已知条件和所求的结论,师生共同分析题意及解题思路后,学生独立完成并板书解题过程.【课件展示】解:设POQ=,在图中,FQ是O的切线,FOQ是直角三角形.cos=OQOF=64006400+3430.9491,18.36.弧PQ的长为18.36180640018.363.14218064002051(km).由此可知,当组合体在P点正上方时,从中观测地球表面时的最远点距离P点约2051km.思路二教师引导思考:(1)要解决实际问题,首先要做什么?(将实际问题抽象成数学问题)(2)如何根据题意画出平面图形?(地球平面图形是圆,组合体近似看作点)(3)从组合体中看到的地球表面最远的点在什么位置?(过点作圆的切线,切点即为所求)学生操作:画出平面示意图.(4)最远点与P点的距离在示意图中指的是什么的长?(5)如何求这段距离?和圆有什么关系?(6)如何将所需数据转化为解直角三角形的知识?【师生活动】学生尝试根据图形写出解题思路,教师巡视过程中及时帮助有困难的学生,课件展示解题过程,规范解题格式.【课件展示】解答同思路一.设计意图引导学生画出示意图,把实际问题转化为数学问题,分析实际问题中的数量关系,利用解直角三角形的知识解决实际问题,让学生经历作图、分析过程,体会数形结合思想在数学中的应用,提高学生分析问题、解决问题的能力.二、活动二【思考】平时我们观察物体时,我们的视线相对于水平线来说可有几种情况?【归纳】视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角是仰角,视线在水平线下方的角是俯角.热气球的探测器显示,从热气球看一栋楼顶部的仰角为30,看这栋楼底部的俯角为60,热气球与楼的水平距离为120m,这栋楼有多高(结果取整数)?教师引导分析:(1)如何根据题意画出符合题意的几何图形?(画出示意图如图)(2)分析题意,已知条件有哪些?(3)你能直接求出AB的长吗?(4)如何求出BC的长?(线段BD与线段CD的和)(5)在RtABD中,能否求线段BD的长?(6)在RtACD中,能否求线段CD的长?【师生活动】教师引导学生思考问题,然后独立完成解题过程,教师巡视过程中及时发现问题,并帮助有困难的学生解决问题,然后课件展示解题过程,规范解题格式.【课件展示】解:如图,=30,=60,AD=120.tan=BDAD,tan=CDAD,BD=ADtan=120tan30=12033=403,CD=ADtan=120tan60=1203=1203.BC=BD+CD=403+1203=1603277(m).因此,这栋楼高约为277m.设计意图学生在教师设计的问题串的引导下思考,独立完成解题过程,进一步让学生体会将实际问题转化为数学问题的建模过程,培养学生建模思想,灵活应用解直角三角形知识解决有关线段的长的计算问题,提高学生的数学思维及解题能力.三、活动三:【思考】你能总结利用解直角三角形的有关知识解决实际问题的一般过程吗?【师生活动】学生思考后小组合作交流,共同归纳解题过程,教师对学生的回答以鼓励为主,将学生的回答补充完整.【归纳】(1)将实际问题抽象成数学问题(画出示意图,将其转化为解直角三角形的问题)；(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数解直角三角形；(3)得到数学问题的答案；(4)得到实际问题的答案.设计意图通过例题的探究,归纳解决实际问题的一般步骤,培养学生归纳总结能力和建模思想.知识拓展仰角与俯角都是视线与水平线的夹角.用解直角三角形的有关知识解决实际问题的一般过程:(1)将实际问题抽象成数学问题(画出示意图,将其转化为解直角三角形的问题)；(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数等解直角三角形；(3)得到数学问题的答案；(4)得到实际问题的答案.1.如图,由D点测塔顶A点和塔基B点的仰角分别为60和30.已知塔基高出地平面20米(即BC长为20米),塔身AB的高为()A.60米B.403米C.40米D.20米2.如图,一飞机从一地平面指挥台C正上方2000米D处经过,沿水平方向飞行,稍后到达B点,这时从地平面指挥台看飞机的仰角为45,1分钟后,飞机到达A点,这时从地平面指挥台看飞机的仰角为30,则飞机从B到A的速度(精确到1米)是()A.1461米/分B.1462米/分C.1463米/分D.1464米/分3.如图,从山顶A处看地面C点的俯角为45,看地面D点的俯角为30,测得CD=100米,求山AB的高度.(结果保留根号)【答案与解析】1.C 解析:ADC=60,BDC=30,ADB=30,A=30,AB=BD.在RtBCD中,BC=20,BD=20sin 30=40,AB=40米,塔身的高为40米.故选C.2.D解析:由题意知在RtADC中,AD=20003米.在RtBDC中,BD=CD=2000米,则AB=(20003-2000)米,由此求得飞机的速度约为1464米/分.故选D.3.解:设山AB的高度为x米.在RtABD中,ADB=30,BD=ABtan 30=3x.在RtABC中,ACB=45,BC=x,CD=DB-BC=3x-x=100,x=503+50.答:山AB的高度为(503+50)米.第1课时1.活动一2.活动二3.活动三一、教材作业二、课后作业【基础巩固】1.课外活动小组测量学校旗杆的高度.如图,当太阳光线与地面成30角时,测得旗杆AB在地面上的影长BC为24米,那么旗杆AB的高度是()A.12米B.83米C.24米D.243米2.如图,为测量一棵与地面垂直的树OA的高度,在距离树的底端30米的B处,测得树顶A的仰角ABO为,则树OA的高度为()A.30tan米B.30sin米C.30tan米D.30cos米3.如图,小颖利用有一个锐角是30的三角板测量一棵树的高度,已知她与树之间的水平距离BE为5m,AB为1.5m(即小颖的眼睛到地面的距离),那么这棵树高是()A.533+32mB.53+32mC.533mD.4m4.一棵树因雪灾于A处折断,如图,测得树梢触地点B到树根C处的距离为4米,ABC约45,树干AC垂直于地面,那么此树在未折断之前的高度约为米(答案保留根号).5.如图,两建筑物的水平距离BC为18m,从A点测得D点的俯角为30,测得C点的俯角为60,则建筑物CD的高度为m.6.如图,张华同学在学校某建筑物的C点处测得旗杆顶部A点的仰角为30,旗杆底部B点的俯角为45.若旗杆底部B点到建筑物的水平距离BE=9米,旗杆台阶高1米,求旗杆顶点A离地面的高度.(结果保留根号)【能力提升】7.如图,小阳发现垂直于地面的