第二单元 因数与倍数【例1】从图中的3个橄榄枝可以读出：（ ）和（ ）是（ ）的因数，（ ）是（ ）和（ ）的倍数。解析：本题考查的知识点有数学的“数形结合”思想和利用因数、倍数知识判断谁是谁的因数，谁是谁的倍数。解答时要先读懂图形中隐含的数学信息：每支树叶5片，3支共有15片树叶。这样就可以得出53=15、153=5、155=3，所以5和3是15的因数，15是5和3的倍数。解答：5 3 15 15 3 5【例2】小明家有三种塑料桶，分别是5千克装，10千克装，2千克装的。妈妈计划买75千克花生油，选（ ）塑料桶装能正好把豆油装完，需这样的桶（ ）个。解析：本题考查的知识点是判断一个数是不是另一个数的因数。解答时可以利用“筛选法”和“排除法”来进行分析和思考。先看5、10和2这三个数哪个数是75的因数。因为75的个位数字是5，所以排除10和2，所以选用5千克装的。又因为755=15（个），因此需要15个油桶。解答：5 15【例3】体育课上，30名学生站成一行，按老师口令从左到右报数：1，2，3，4，30。（1）老师先让所报的数是2的倍数的同学去跑步，参加跑步的有多少人？（2）余下学生中所报的数是3的倍数的同学进行跳绳训练，参加跳绳的有多少人？（3）两批同学离开后，再让余下同学中所报的数是5的倍数的同学去器材室拿篮球，有几个人去拿篮球？（4）现在队伍里还剩多少人？解析：本题考查的知识点：找一个数的倍数的方法，能被2、3、5整除的数的特征。由于数据较多，解答时可以采用“列举法”先列出1至30数表，再利用排除法一一筛选来进行解答。（1）利用自然数中奇偶数的排列规律直接计算得出；（2）在余下的奇数中找出3的倍数；（3）找30以内能被5整除且不能被3整除的奇数；在前三题的基础上；（4）通过计算得出。解答（1）302=15（人） 答：参加跑步的有15人。（2）30以内既能被3整除又是奇数的是：3，9，15，21，27。答：参加跳绳的有5人。（3）30以内能被5整除不能被3整除，且是奇数的数是：5，25。答：有2个人去拿篮球。（4）30-15-5-2=8（人） 答：现在队伍里还剩8人。【例4】学校要把74枝铅笔和80本练习本平均奖给几名优秀学生，结果铅笔多出4枝，练习本少了4本。得奖的同学最多有多少人？解析：本题考查的知识点是灵活应用最大公因数的求解方法来解决实际问题。铅笔74支减去4支，余下的70支是得奖同学人数的整数倍；80本练习本加上4本，得到84本是得奖同学人数的整数倍；所以得奖同学最多人数是70和84的最大公因数。方法提示：人数是铅笔支数和练习本本数的最大公因数。解答：74-4=70 80+4=8470=25784=223770和84的最大公因数是27=14答：得奖的同学最多有14人。【例5】一盒棋子共有96个，如果不一次拿出，也不一粒一粒地拿出，但每次拿出的粒数要相同，最后一次正好拿完。共有几种拿法？解析：本题考查的知识点是找一个数的因数的方法。解答时要抓住拿完时又正好不多不少，说明每次拿出的个数都是96的因数来解答。解答：96=222223，那么96的因数可以表示为：96=196=248=332=616=424=812，一共有12个因数，不一次拿出，也不一个个地拿，96和1这对因数不要，这样一共有10种拿法。答：共有10种拿法。【例6】小船最初在南岸，从南岸驶向北岸，再从北岸驶回南岸，不断往返。（1）小船摆渡11次后，船在南岸还是在北岸，为什么？（2）有人说摆渡100次后，小船在北岸，他的说法对吗？为什么？解析：本题考查的知识点是奇数和偶数的特征。解答时，可以采用列举法列举出小船最初在南岸（如下图），则第一次摆渡后到达北岸，第二次摆渡到达南岸；第三次到达北岸，第四次南岸，这样在南北岸之间不断往返。由此发现，在摆渡奇数次后，船在北岸，摆渡遇数次后，船在南岸。解答：在摆渡奇数次后，小船在北岸，摆渡遇数次后，小船在南岸。（1）11为奇数，所以摆渡11次后，小船在北岸；（2）100为偶数，所以摆渡100次后，小船在南岸。【例7】在1100这100个自然数中任取其中的几个数，要使这几个数中至少有一个合数，则至少取（ ）个数。解析：本题考查的知识点有100以内的质数、抽屉原理。解答时先用列举法列举出1到100这100个自然数中共有25个质数，其中1既不是质数也不是合数。在最坏的情况下，拿到这26个非合数之后，只要在拿一个数，必然会出现一个合数。因此要保证多少取出一个合数，至少取27个数。解答：27【例8】幼儿园里有一些小朋友，王老师拿了48颗糖平均分给他们，正好分完。小朋友的人数可能是多少？解析：本题考查的知识点是灵活运用一个数的因数的个数来解答简单的实际问题。解答时先用“列举法”列举出48的因数：1，2，3、4，6，8，12，16，24，48。根据题意可以知道，不可能分给1个小朋友，因此可以平均分给2，3，4，6，8，12，16，24，48个小朋友。解答：小朋友的人数可能是2，3，4，6，8，12，16，24，48。【例9】仔细观察填一填。（12,18,6,14,80,52,74,96）（11,9,23,29,35,49,81,97）（1）从第一个括号里任意取2个数和是( ),从第2个括号里任意取2个数和是（ ）。（2）分别从第1个括号里和第2个括号里各取一个数相加和是（ ）。（3）偶数+偶数=（）奇数+奇数=（ ）偶数奇数（）。解析：本题考查的知识点是用不完全归纳法概括奇数和偶数的运算性质。解答时，可以按照要求多列举几个数求和，然后再进行归纳和概括。解答：（1）偶数 偶数 （2）奇数 （3）偶数 偶数 奇数【例10】在17的后面添上三个数字，使这个五位数既是偶数，同时又有因数3和5，这个五位数最大是（ ），最小是（ ）。解析：本题考查的知识点有偶数、3、5倍数的特征，解答时要利用推理分析以及排除法来进行解答。首先，写出来的数是偶数，这个数的个位数字只能是0、2、4、6、8；其次，这个数有因数5，说明个位数字只能是0或5，这样可以确定个位数字只能是0；接着看含有因数3的数：写出来的这个数的后三位要保证和是3的倍数，因为1+7=8，所以最大的数的百位上的数是9，十位上的数是7；最小的数百位上的数是0，十位上的数是1。解答：17970 17010