第三单元 长方体和正方体【例1】将一个正方体钢坯锻造成长方体，它们的（）。A体积相等，表面积不相等 B体积不相等，表面积相等C体积和表面积都相等 D表面积相等，体积不相等解析：本题考查的知识点是数学的“等积变形”思想。解答时要抓住将正方体钢坯锻造成长方体形状这一基本条件，锻造就是说形状要改变，所以表面积一定会发生变化，但是体积是不会变化的，因为钢坯所占空间的大小不变，所以选A。解答：A 【例2】小华说：“棱长6厘米的正方体，体积和表面积相等。”小红说：“表面积相等的两个正方体，体积也一定相等。”他们说的（）。A小红对 B小华对 C都对 D都不对解析：本题考查的知识点有：不是同类量能否进行比较以及正方体的特征。解答时，根据表面积、体积的意义：正方体的表面积是指6个面的总面积，正方体的体积是指题所占空间的大小，表面积和体积不是同类量所以不能进行比较。正方体的表面积=棱长棱长6，正方体的体积=棱长棱长棱长，因为两个正方体的表面积相等，则每个面的面积相等，也就可以判定棱长相等，所以体积也相等。综合上述分析得出：小华的说法是错误的，小红的说法是正确的。解答： A。【例3】一个棱长为10厘米的正方体容器里装有5厘米高的水，现在将一块不规则的石块全部浸没水中，测得水面上升了2厘米，这块石块的体积是（）。A 100 cm B 500 cm C200 cm D300cm解析：本题考查的知识点是利用“等积变形思想”求不规则物体的体积。根据物体完全浸没在水中，上升了的水的体积就是物体的体积，然后利用长方体的体积公式计算公式：v=abh，把数据代入公式v =10102=1002=200（立方厘米）所以选C。解答： C【例4】“淘宝之父”马云新出了两本大小相同的书，长20厘米、宽12厘米、厚3厘米，如果将这两本书包装在一起，怎样包装最省纸？请画出示意图，并算出包装纸的面积。（接头处不计）解析：本题考查的知识点是用“分类讨论思想”解答长方体的拼组包装问题。解答此题的关键是要明白：把长方体的两个最大面重合时，拼成的长方体最省包装纸。已知长方体的长为20厘米、宽为12厘米、厚3厘米，所以这把这两个长方体书的2012的面相重合，得到的大长方体的表面积最小，比原来两个长方体书的表面积减少了2个最大的面，这样最节约包装纸，组成的长方体长20厘米，宽12厘米，高6厘米，然后再根据表面积的计算方法来解答。解答：如图所示：（2012+206+126）2=4322=864（平方厘米）答：包装纸的面积是864平方厘米。【例5】把一个长方体切成两个小长方体，（）切法增加的表面积最大。解析：本题考查的知识点是利用比较法解答切割长方体时增加的表面积最大问题。解答时，可以先分别计算出每种切法增加的表面积是多少，然后再比较确定。根据长方体的切割方法，可知把长方体切割成两个小长方体，则表面积就增加了两个切割面的面积，所以要使表面积增加的最多，则平行于最大面进行切割，则表面积就会增加两个最大的面的面积。图A增加的面积为：322=12（平方厘米）、图B增加的面积为：432=24（平方厘米）、图C增加的面积为：422=16（平方厘米），241612，所以图B种切法，增加的表面积最大。解答：B【例6】一个长方体，如果高增加3厘米，就成为一个正方体。这时表面积比原来增加了96平方厘米。原来的长方体的体积是多少立方厘米？解析：本题考查的知识点是根据长方体和正方体的关系来计算长方体的体积。一个长方体如果高增加3厘米，就变成了一个正方体，说明长和宽相等且比高大3厘米，因此增加的96平方厘米是4个同样的长方形的面积和（如下图），这样得出长方体的底面周长是963=32（厘米），底面边长是324=8（厘米），长方体的高是8-3=5（厘米），最后再根据长方体的体积公式解答。要点提示：增加的96平方厘米是一个长是32厘米，宽是3厘米的长方形。解答：底面周长：963=32（厘米）底面边长：324=8（厘米）高：8-3=5（厘米）体积：885=320（立方厘米）答：原来这个长方体的体积是320立方厘米。【例7】一个长方体玻璃缸，从里面量长40厘米，宽25厘米，缸内水深12厘米。把一块石头浸入水中后，水面升到16厘米，求石块的体积。解析：本题考查的知识点是不规则物体体积的计算，考查方法是用排水法和等积变形思想计算不规则物体的体积。要点提示：等积变形就是指物体的形状发生变化，体积不变。把一块石头浸入水中后，水面升到16厘米，水面上升的高度是16厘米-12厘米=4厘米，因为石头的体积等于玻璃缸内高为4厘米的水的体积，然后根据长方体体积计算公式计算出上升的水的体积，也就是石块的体积。解答：4025（16-12）=10004=4000（立方厘米）答：石块的体积是4000立方厘米。【例8】一根铁丝能围成一个棱长是10厘米的正方体框架，如果用这根铁丝再围成一个长方体框架，长是10厘米，宽是9厘米，高是（ ）厘米。解析：本题考查的知识点是利用抓“不变量的方法”来计算长方体的高。解答时要抓住“用这根铁丝再围成一个长方体框架”也就是说围成的长方体和正方体的棱长和是不变的。因此可以先根据正方体的棱长是10厘米，求出正方体的棱长和，也就是长方体的棱长和，然后再根据长方体的长是10厘米，宽是9厘米，求出长方体的高。解答：10124-10-9=11（厘米）【例9】一个长方体的长、宽、高都扩大2倍，这个长方体的体积扩大多少倍？解析：本题考查的知识点是用设数法来解答长方体的体积变化问题。解答时，可以先设出长方体的长是3厘米、宽是2厘米、高是1厘米，如果长、宽和高都扩大2倍，则分别为6厘米、4厘米和2厘米，这样原来长方体的体积是321=6（立方厘米）扩大以后的体积是642=48（立方厘米），所以长方体的体积扩大了486=8倍。解答：8【例10】一个长方体，底面是一个周长为12分米的正方形，侧面展开后是一个正方形，这个长方体的体积是（）立方分米 。A 144 B108 C 36 D 216解析：本题考查的知识点是用图示法计算长方体的体积。已知长方体底面是一个周长为12分米的正方形，侧面展开后是一个正方形，这说明长方体的高与底面周长相等，（如下图）也是12分米；这样先求出底面边长，再根据体积公式v=sh，代入数据计算出长方体的体积：124=3（分米） 3312=912=108（立方分米）解答：B【例11】和谐村用24m的沙子铺一条宽4m的甬路，沙子铺12cm厚，这条甬路的长是多少？解析：本题考查的知识点是利用数学的“等积变形”数学思想解答甬路的长问题。解答时首先要抓住不变量：24 m的沙子的体积是不变的，改变的是这24 m沙子的形状。(如下图)问题中，单位不统一，先统一单位，把12cm化成0.12m，接着求出沙子铺成甬路后的侧面积（如上图），列式为40.12，最后用沙子的体积除以甬路的侧面积就是甬路的长，列式为24（40.12）。解答：12cm=0.12m 24（40.12）=50（m）答：这条甬路的长是50米。【例12】用36cm长的铁丝做长方体或正方体框架（不考虑接头，要正好用完，棱的长度都取整厘米）。请你写出几种不同的做法，并分别求出它们的体积。把各个长方体的体积与正方体比较，你有什么发现？由此你得出什么猜想？和同学交流你的想法。解析：本题考查的知识点是利用数学的“分类讨论思想”、归纳、猜想思维解决数学问题。解答时，先根据长方体的棱长总和=（长+宽+高）4，用棱长总和除以4求出长、宽、高的和，进而确定出、宽、高，接着根据长方体的体积公式：v=abh，求出长方体的体积。因为正方体的12条棱的长度都相等，用36除以12求出正方体的棱长，根据正方体的体积公式：v=a，求出正方体的体积，然后进行比较即可。解答：长、宽、高的和：364=9（厘米）长7厘米、宽1厘米、高1厘米，体积是711=7（立方厘米）长6厘米、宽2厘米、高1厘米，体积是621=12（立方厘米）长5厘米、宽2厘米、高2厘米，体积是522=20（立方厘米）长5厘米、宽3厘米、高1厘米，体积是531=15（立方厘米）正方体的棱长：3612=3（厘米）正方体的体积：333=27（立方厘米）727 1227 2027 1527当长方体和正方体的棱长总和相等时，正方体的体积大于长方体的体积。【例13】两个正方体，拼成一个长方体，在拼成的过程中它们的表面积减少了72平方厘米，求这个长方体的体积。解析：本题考查的知识点是正方体的体积的计算，解答时可以利用图示法画出示意图来分析帮助解答。把两个正方体，拼成一个长方体，有两个面重合在一起，表面积减少的72平方厘米，就是正方体的两个面的面积(如下图)，由此可以一个面的面积，再根据正方形的面积公式：s=a，即可求出边长（也就是正方体的棱长），最后根据正方体的体积公式：v=a求出一个正方体的体积再乘2。解答：正方体每个面的面积：722=36（平方厘米）因为6的平方是36，所以正方体的棱长是6厘米6662=2162=432（立方厘米）答：这个长方体的体积是432立方厘米。【例14】在括号里填上适当的数。（1）4.5立方米=（ ）立方米（ ）立方分米 （2） 250毫升=（ ）升（3）650立方分米=（ ）立方米 （4） 2.4升=（ ）毫升 解析：本题考查的知识点是单位的化聚，解答时要利用数学的转化法来进行分析和解答。（1）4.5立方米是复名数，含有两个不同类计量单位。整数部分的4立方米是不需进行转化的，直接写在立方米前面的括号里，只需要把0.5立方米转化为立方分米即可，0.5立方米=500立方分米。 （2） 250毫升=？升，这是低级单位数化高级单位数，转化时，用250直接除以进率1000，也就是把小数点向左移动三位。（3）650立方分米=？立方米， 这是低级单位数化高级单位数，转化时，用650直接除以进率1000，也就是把小数点向左移动三位。 （4）2.4升=？毫升，这是高级单位数转化为低级单位数，转化时，用2.4直接乘进率1000，也就是把小数点向右移动三位。解答：4.5立方米=（4 ）立方米（500 ）立方分米 250毫升=（0.25）升650立方分米=（ 0.65）立方米 2.4升=（2400）毫升