p17.2勾股定理的逆定理第一课时第二课时人教版数学八年级下册勾股定理的逆定理第一课时返回按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？古埃及人曾用下面的方法得到直角：用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、互逆定理的概念、关系及勾股数.2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.素养目标据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角.勾股定理的逆定理三边分别为3，4，5，满足关系：32+42=52，则该三角形是直角三角形问题1用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？是做一做：下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数为边长画出三角形(单位：cm).5，12，13；7，24，25；8，15，17下面有三组数分别是一个三角形的三边长abc:512137242581517.问题2这三组数在数量关系上有什么相同点？51213满足52+122=13272425满足72+242=25281517满足82+152=172.问题3古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？32+42=52，满足.a2+b2=c2问题4据此你有什么猜想呢由上面几个例子，我们猜想：命题2如果三角形的三边长abc满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.已知：如图，在ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，并且ABbcab证明：作A1B1C1在ABC和A1B1C1中，Ca求证：C=90使C1=90根据勾股定理，则有BAB1C1=a，C1A1=bA1B12=B1C12+C1A12=a2+b2a2+b2=c2A1B1=c，AB=A1B1符号语言：在ABC中，若a2+b2=c2则ABC是直角三角形如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.勾股定理的逆定理：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形，最长边所对应的角为直角.例1下面以abc为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？(1)a=15，b=8，c=17解：(1)152+82=289，172=289，(2)a=13，b=14，c=15.(2)132+142=365，152=225，总结：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.利用勾股定理的逆定理判断直角三角形152+82=172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且C是直角.132+142152，不符合勾股定理的逆定理，这个三角形不是直角三角形.1.下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是()A.123B.234C.456D.2.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是()A.三个内角比为1：2：1B.三边之比为1：2：C.三边之比为D.三个内角比为1：2：3DCDC例2若ABC的三边abc，且a+b=4ab=1c=，试说明ABC是直角三角形.解：a+b=4ab=1a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14.又c2=14a2+b2=c2ABC是直角三角形.勾股定理的逆定理和乘法公式判断三角形3.若ABC的三边abc满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c.试判断ABC的形状.解：a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，a26a+9+b28b+16+c210c+25=0.即(a3)+(b4)+(c5)=0.a=3b=4c=5，即a2+b2=c2.ABC是直角三角形.勾股数如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.常见勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.4.下列各组数是勾股数的是()A.3，4，6B.6，7，8C.0.3，0.4，0.5D.5，12，13D方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.命题1如果直角三角形的两条直角边长分别为ab斜边为c那么a2+b2=c2.命题2如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.看下边的两个命题：互逆命题和互逆定理命题1：直角三角形a2+b2=c2命题2：直角三角形a2+b2=c2题设结论它们是题设和结论正好相反的两个命题.发现1两个命题的条件和结论如下所示：发现2两个命题的条件和结论有如下联系：归纳总结：一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.5.说出下列命题的逆命题这些命题的逆命题是真命题吗？（1）两条直线平行，内错角相等；逆命题：内错角相等，两直线平行真命题（2）对顶角相等；逆命题：相等的角是对顶角假命题（3）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等逆命题：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上真命题1.（2019威海模拟）已知M、N是线段AB上的两点，AMMN2，NB1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则ABC一定是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰三角形巩固练习B1.下列各组数是勾股数的是()A.3，4，7B.5，12，13C.1.5，2，2.5D.1，3，52.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数则得到的三角形()A.是直角三角形B.可能是锐角三角形C.可能是钝角三角形D.不可能是直角三角形BA3.写出下列命题的逆命题，并判断其逆命题的真假性.(1)如果两个角是直角，那么它们相等.(2)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.(3)如果，那么a0.解：(1)如果两个角相等，那么这两个角是直角.假命题.(2)在角的内部，角的平分线上的点到两边的距离相等.真命题.(3)如果a0，那么.真命题.4.若ABC的三边abc满足a:b:c=3:4:5，试判断ABC的形状.解：设a=3kb=4kc=5k(k0)(3k)2+(4k)2=25k2(5k)2=25k2(3k)2+(4k)2=(5k)2ABC是直角三角形，且C是直角.ABC三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向？解：AB2+BC2122+52=144+25=169，AC2=132=169，AB2+BC2=AC2，ABC为直角三角形，且B=90，由于A地在B地的正东方向，所以C地在B地的正北方向.如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CECB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由解：AFEF.理由如下：设正方形的边长为4a则ECa，BE3a，CFDF2a.在RtABE中，得AE2AB2BE216a29a225a2.在RtCEF中，得EF2CE2CF2a24a25a2.在RtADF中，得AF2AD2DF216a24a220a2.在AEF中，AE2EF2AF2，AEF为直角三角形，且AE为斜边AFE90，即AFEF.勾股定理的逆定理内容作用从三边数量关系判定一个三角形是否是直角形三角形.如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.注意最长边不一定是c，C也不一定是直角.勾股数一定是正整数勾股数互逆命题和互逆定理勾股定理的逆定理的应用第二课时返回工厂生产的产品都有一定的规格要求，如图所示：该模板中的AB、BC相交成直角才符合规定。你能测出这个零件是否合格呢？(身边只有刻度尺)在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而常需要使用一些数学知识和方法，其中勾股定理的逆定理经常会被用到，这节课让我们一起来学习吧.2.进一步加深对勾股定理与其逆定理之间关系的认识.1.应用勾股定理的逆定理解决实际问题.素养目标3.将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题.12如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行“远航”号每小时航行16海里“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点QR处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？NEPQR利用勾股定理的逆定理解答角度问题【思考】1.认真读题，找已知是什么？“远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离已知，如下图.12NEPQR161.5=24121.5=18303.由于我们现在所能得到的都是线段长，要求角，由此我们想到利用什么思想？要解决的问题是求出两艘船航向所成角.勾股定理逆定理【思考】2.需要解决的问题是什么？转化的思想4.知道线段长度，通过线段长度来求角的度数，我们可以利用什么转化呢？解：根据题意得PQ=161.5=24(海里)PR=121.5=18(海里)QR=30海里.242+182=302，即PQ2+PR2=QR2QPR=90.由“远航”号沿东北方向航行可知1=45.2=45，即“海天”号沿西北方向航行.方法点拨：解决实际问题的步骤：标注有用信息明确已知和所求；构建几何模型(从整体到局部)；应用数学知识求解.1.在寻找马航MH370航班过程中，两艘搜救舰艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B.接到消息后，一艘舰艇以16海里时的速度离开港口O(如图所示)向北偏东40方向航行，另一艘舰艇在同时以12海里时的速度向北偏西一定角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里，问另一艘舰艇的航行方向是北偏西多少度？解：由题意得，OB121.518海里，OA161.524海里，又AB30海里，182242302，即OB2OA2AB2，AOB90.DOA40，BOD50.则另一艘舰艇的航行方向是北偏西50.如图，四边形ABCD中，ABAD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD的面积.解：连接BD.在RtABD中由勾股定理得BD2=AB2+AD2，BD=5cm.又CD=12cm，BC=13cmBC2=CD2+BD2，BDC是直角三角形.S四边形ABCD=SRtBCDSRtABD=BDCDABAD=(51234)=24(cm2)CBAD利用勾股定理的逆定理解答面积问题2.如图，在四边形ABCD中，ACDC，ADC的面积为30cm2，DC12cm，AB3cm，BC4cm，求ABC的面积.解:SACD=30cm2，DC12cm.AC=5cm.又ABC是直角三角形B是直角.如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现ABDC8m，ADBC6m，AC9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？解：ABDC8m，ADBC6m，AB2BC282626436100.又AC29281，AB2BC2AC2，ABC90，该农民挖的不合格利用勾股定理的逆定理解答检测问题3.一个零件的形状如图所示按规定这个零件中A和DBC都应为直角工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示这个零件符合要求吗DABC4351312DABC图图在BCD中，BCD是直角三角形，DBC是直角.因此，这个零件符合要求.解：在ABD中，ABD是直角三角形，A是直角.DABC4351312图AB2+AD2=32+42=25=52=BD2BD2+BC2=52+122=169=132=CD2（2018长沙）我国南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（）A7.5平方千米B15平方千米C75平方千米D750平方千米巩固练习ABB1.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是（）DA.B.C.D.2.如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市在医院的南偏东25的方向，且到医院的距离为300m，公园到医院的距离为400m，若公园到超市的距离为500m，则公园在医院的()A.北偏东75的方向上B.北偏东65的方向上C.北偏东55的方向上D.无法确定B3.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12kmh的速度前进，同时，B组也由驻地O出发，以9kmh的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由.解：出发2小时，A组行了122=24(km)，B组行了92=18(km)，又A，B两组相距30km，且有242+182=302，A，B两组行进的方向成直角4.在城市街路上速度不得超过70千米时，一辆小汽车某一时刻行驶在路边车速检测仪的北偏东30距离30米处，过了2秒后行驶了50米，此时小汽车与车速检测仪间的距离为40米.问：2秒后小汽车在车速检测仪的哪个方向这辆小汽车超速了吗车速检测仪小汽车30米30北60解：小汽车在车速检测仪的南偏东60方向或北偏西60方向.25米秒=90千米时70千米时小汽车超速了.40米如图，四边形ABCD中，B90，AB3，BC4，CD12，AD13求四边形ABCD的面积.分析：连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断ACD是直角三角形.解：连接AC.在RtABC中，在ACD中，AC2+CD2=52+122=169=AD2，ACD是直角三角形，且ACD=90.S四边形ABCD=SRtABC+SRtACD=6+30=36.如图，在ABC中，AB：BC：CA=3：4：5且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过3s时，求PQ的长解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，周长为36cm，即AB+BC+AC=36cm，AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm.AB2+BC2=AC2，ABC是直角三角形，过3秒时，BP=9-32=3(cm)，BQ=12-13=9(cm)，在RtPBQ中，由勾股定理得3x+4x+5x=36，解得x=3.P勾股定理的逆定理的应用应用航海问题方法认真审题画出符合题意的图形熟练运用勾股定理及其逆定理来解决问题与勾股定理结合解决不规则图形等问题课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习/p