p18.1平行四边形18.1.2平行四边形的判定第一课时第二课时人教版数学八年级下册第三课时利用平行四边形的定义、边、角、对角线判定平行四边形第一课时返回昨天初一的李明同学在生物实验室做实验时，不小心碰碎了实验室的一块平行四边形的实验用的玻璃片只剩下如图所示部分他想明天星期六回家去割一块赔给学校，带上玻璃剩下部分去玻璃店不安全，于是他想把原来的平行四边形重新在纸上画出来然后带上图纸去就行了，可原来的平行四边形怎么给它画出来呢？(ABC为三顶点即找出第四个顶点D)1.经历并了解平行四边形的判别方法探索过程，逐步掌握说理的基本方法.2.掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证.素养目标3.在探索过程中发展我们的合理推理意识、主动探究的习惯.如图，将两长两短的四根细木条用小钉绞合在一起，做成一个四边形，使等长的木条成为对边，转动这个四边形，使它形状改变，在图形变化过程中，它一直是一个平行四边形吗？由上面的过程你得到了什么结论？是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形B平行四边形的判定定理1已知：四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.求证：四边形ABCD是平行四边形.连接AC，在ABC和CDA中AB=CD(已知)，BC=DA(已知)，AC=CA(公共边)，ABCCDA(SSS)1=42=3，ABCDADBC，四边形ABCD是平行四边形.证明：由上述证明可以得到平行四边形的判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.几何语言：在四边形ABCD中，AB=CDAD=BC四边形ABCD是平行四边形.例1如图，在RtMON中，MON90.求证：四边形PONM是平行四边形证明：在RtMON中，由勾股定理得(x5)242(x3)2，解得x8.PM11x3，ONx53，MNx35.PMON，OPMN，四边形PONM是平行四边形利用两组对边分别相等识别平行四边形1.如图ADACBCAC且AB=CD求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：在RtABC和RtCDA中，AC=CAAB=CDRtABCRtCDA(HL)BC=DA.又AB=CD四边形ABCD是平行四边形一天，八年级的李明同学在生物实验室做实验时，不小心碰碎了实验室的一块平行四边形的实验用的玻璃片只剩下如图所示部分他想去割一块赔给学校，带上玻璃剩下部分去玻璃店不安全，于是他想把原来的平行四边形重新在纸上画出来，然后带上图纸去就行了，可原来的平行四边形怎么画出来呢？平行四边形的判定定理2D观看上面的图形，李明想使B=D，A=C即可，你觉得可以吗？对于两组对角分别相等的四边形的形状你的猜想是什么D猜想：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.猜想，对吗？已知：四边形ABCDA=C，B=D求证：四边形ABCD是平行四边形证明：四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)同理可证ABCD又A+B+C+D=3602A+2B=360A=C，B=D（已知）即A+B=180ADBC（同旁内角互补，两直线平行）两组对角分别相等的四边形是平行四边形.平行四边形的判定定理2:符号语言：A=C，B=D四边形ABCD是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）ABCD例2如图，四边形ABCD中，ABDC，B55，185，240.(1)求D的度数；(2)求证：四边形ABCD是平行四边形(1)解：D21180，D1802155；(2)证明：ABDC，2CAB，DAB12125.DCBDABDB360，又DB55，利用平行四边形的判定定理2判定平行四边形DCBDAB125.四边形ABCD是平行四边形2.判断下列四边形是否为平行四边形：是不是3.能判定四边形ABCD是平行四边形的条件：A:B:C:D的值为（）A.1:2:3:4B.1:4:2:3C.1:2:2:1D.3:2:3:2D如图，将两根木条AC、BD的中点重叠，用小钉绞合在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形ABCD，转动两根木条，四边形ABCD一直是一个平行四边形吗？猜想：对角线互相平分的四边形是平行四边形.平行四边形的判定定理3已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD.ADOCBOOA=OC证明：OB=ODAOD=COB四边形ABCD是平行四边形求证：四边形ABCD是平行四边形.O21在ADO和CBO中，1=2ADBC同理ABCD几何语言：OA=OCOB=OD四边形ABCD是平行四边形.（对角线互相平分的四边形是平行四边形）对角线互相平分的四边形是平行四边形.平行四边形的判定定理3:例3如图，ABCD的对角线ACBD相交于点OEF是AC上的两点，并且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.证明：四边形ABCD是平行四边形，AO=COBO=DO.AE=CF，AO-AE=CO-CF即EO=OF.又BO=DO，四边形BFDE是平行四边形.利用平行四边形的判定定理3判断平行四边形4.根据下列条件不能判定四边形为平行四边形的是()A.两组对边分别相等B.两条对角线互相平分C.两条对角线相等D.两组对边分别平行5.如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O.如果AC=8cmBD=10cm那么当AO=_____cmBO=_____cm时，四边形ABCD是平行四边形.C451.（2018安徽）ABCD中，E，F的对角线BD上不同的两点下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（）ABE=DFBAE=CFCAFCEDBAE=DCF巩固练习B2.（2019柳州）平行四边形的其中一个判定定理是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形请你证明这个判定定理已知：如图，在四边形ABCD中，ABCD，ADBC求证：四边形ABCD是平行四边形巩固练习证明：连接AC，如图所示：在ABC和CDA中，ABCCDA（SSS），BACDCA，ACBCAD，ABCD，BCAD，四边形ABCD是平行四边形1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是()A.ABCD，ADBCB.OAOC，OBODC.ADBC，ABCDD.ABCD，ADBCCC2.在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=___cm，CD=____cm时，四边形ABCD为平行四边形；（2）若AO=10cm，BO=18cm，那么当AC=___cm，BD=____cm时，四边形ABCD为平行四边形ABCDO848420363.如图，ACDE且ACDE，AD，CE交于点B，AF，DG分别是ABC，BDE的中线，求证：四边形AGDF是平行四边形.ACDE，ACDE，CE，CABEDB.ABCDBE.ABDB，CBEB.AF，DG分别是ABC，BDE的中线，BGBF.四边形AGDF是平行四边形.证明：4.如图，已知E，F，G，H分别是ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=CG，BF=DH求证：四边形EFGH是平行四边形在平行四边形ABCD中，A=C，AD=BC又BF=DH，AH=CF.又AE=CG，AEHCGF（SAS），EH=GF.同理得BEFDGH（SAS），GH=EF，四边形EFGH是平行四边形证明：如图，五边形ABCDE是正五边形，连接BD、CE，交于点P求证：四边形ABPE是平行四边形证明：五边形ABCDE是正五边形，正五边形的每个内角的度数是AB=BC=CD=DE=AE，DEC=DCE=(180-108)=36，同理CBD=CDB=36，ABP=AEP=108-36=72，BPE=360-108-72-72=108=A，四边形ABPE是平行四边形如图，在ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边ABD、等边ACE、等边BCF.试说明四边形DAEF是平行四边形证明：ABD和BCF都是等边三角形，DBFFBAABCABF60，DBFABC.又BDBA，BFBC，DBFABC(SAS)，ACDF.又ACE是等边三角形，ACDFAE.同理可证ABCEFC，ABEFAD，四边形DAEF是平行四边形平行四边形的判定定义法:两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.对角线互相平分的四边形是平行四边形.利用一组对边判定平行四边形第二课时返回取两根等长的木条AB、CD，将它们平行放置，再用两根木条BC、AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？2.会综合运用平行四边形的判定方法和性质来证明问题.1.掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法.素养目标以小组讨论的形式探讨这一问题.我们知道两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形.请同学们猜想一下，如果只考虑四边形的一组对边，当它满足什么条件时这个四边形是平行四边形？平行四边形的判定定理4问题1：一组对边平行的四边形是平行四边形吗？如果是请给出证明，如果不是请举出反例说明.xk小学学习过的梯形满足一组对边平行的条件，但梯形不是平行四边形.问题2：满足一组对边相等的四边形是平行四边形吗？如图1，这个四边形EFGH满足一组对边EF=HG相等的条件，但它不是平行四边形.问题3：如果一组对边平行，而另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？如图2，等腰梯形属于一组对边平行（上底和下底），而另一组对边相等（两腰），但是等腰梯形不是平行四边形我们在方格纸上利用手中的木棍，做一个满足一组对边平行且相等的四边形，并判断所做的四边形是否是平行四边形.请你猜想，这个命题成立吗？命题：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形命题：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.请你将上述命题改写成已知、求证，并画出图形，然后思考如何证明.已知：如图，在四边形ABCD中，ABCD，AB=CD.求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：方法1：如图，连接AC.ABCD，1=2又AB=CD，AC=CA，ABCCDABC=DA四边形ABCD是平行四边形21证明：方法2：ABCD，1=2又AB=CD，AC=CA，ABCCDABCA=DACADBC四边形ABCD是平行四边形如图，连接AC21平行四边形的判定定理4：在四边形ABCD中，ABCD，AB=CD，四边形ABCD是平行四边形符号语言：提示：同一组对边平行且相等.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，EBFD又EB=AB，FD=CD，EB=FD四边形EBFD是平行四边形例1如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：四边形EBFD是平行四边形.直接利用平行四边形的判定定理4判定平行四边形证明：证明：四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，ADEF，AD=EF，EFBC，EF=BC.ADBC，AD=BC.四边形ABCD是平行四边形.1.四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证：四边形ABCD是平行四边形.例2如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，AE=DF，A=D，AB=DC求证：四边形BFCE是平行四边形AB=CD，AB+BC=CD+BC，即AC=BD，在ACE和DBF中，ACBDADAEDFACEDBF(SAS)，CE=BF，ACE=DBF，CEBF，四边形BFCE是平行四边形平行四边形的判定定理4和全等三角形判定平行四边形证明：2.如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE（1）求证：ACDCBE；（2）求证：四边形CBED是平行四边形证明：（1）点C是AB的中点，AC=BC.在ADC与CEB中，ADCECDBEACBCADCCEB（SSS），（2）ADCCEB，ACD=CBE，CDBE.又CD=BE，四边形CBED是平行四边形例3如图，ABC中，BD平分ABC，DFBC，EFAC，试问BF与CE相等吗？为什么？平行四边形的性质和判定的综合题目解：BFCE理由如下：DFBC，EFAC，四边形FECD是平行四边形，FDB=DBE，FD=CE.BD平分ABC，FBD=EBD，FBD=FDB.BF=FD.BFCE.3.如图，在ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，EF，BF，写出图中除ABCD以外的所有的平行四边形.解：四边形ABCD是平行四边形ADBC，AD=BC.E，F分别是AB，CD的中点，AE=BF=DE=FC，四边形ADFE是平行四边形，四边形EFCB是平行四边形，四边形BEDF是平行四边形.（2019遂宁）如图，在四边形ABCD中，ADBC，延长BC到E，使CEBC，连接AE交CD于点F，点F是CD的中点求证：（1）ADFECF（2）四边形ABCD是平行四边形巩固练习证明：（1）ADBC，DAFE，点F是CD的中点，DFCF，在ADF与ECF中，ADFECF（AAS）；（2）ADFECF，ADEC，CEBC，ADBC，ADBC，四边形ABCD是平行四边形DAF=E，DF=CF，AFD=EFC，1.已知四边形ABCD中有四个条件：ABCD，AB=CD，BCAD，BC=AD，从中任选两个，不能使四边形ABCD成为平行四边形的选项是（）AABCD，AB=CDBABCD，BCADCABCD，BC=ADDAB=CD，BC=ADC2.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：ADBC；ADBC；OAOC；OBOD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有()A3种B4种C5种D6种B3.在ABCD中，E、F分别在BC、AD上，若想要使四边形AFCE为平行四边形，需添加一个条件，这个条件不可以是（）AAF=CEBAE=CFCBAE=FCDDBEA=FCEB4.如图，点E，C在线段BF上，BE=CF，B=DEF，ACB=F，求证：四边形ABED为平行四边形BE=CF，BE+EC=CF+EC即BC=EF又B=DEFACB=F，ABCDEF，AB=DE.B=DEF，ABDE四边形ABED是平行四边形证明：如图，将ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D处，折痕l交CD边于点E，连接BE求证：四边形BCED是平行四边形.由题意得DAE=DAE，DEA=DEA，D=ADE，DEAD，DEA=EAD，DAE=EAD=DEA=DEA，DAD=DED，四边形DADE是平行四边形，DE=AD.证明：四边形ABCD是平行四边形，ABDC，AB=DC，CEDB，CE=DB，四边形BCED是平行四边形.如图，在四边形ABCD中，ADBC，AD=12cm，BC=15cm，点P自点A向D以1cms的速度运动，到D点即停止点Q自点C向B以2cms的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t(s)（1）用含t的代数式表示：AP=_____；DP=________；BQ=________；CQ=________；tcm(12-t)cm(15-2t)cm2tcm（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？解：根据题意有AP=tcm，CQ=2tcm，PD=(12-t)cm，BQ=(15-2t)cmADBC，当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形t=15-2t，解得t=5st=5s时四边形APQB是平行四边形；解：由PD=(12-t)cm，CQ=2tcm，ADBC，当PD=QC时，四边形PDCQ是平行四边形即12-t=2t，解得t=4s，当t=4s时，四边形PDCQ是平行四边形（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？平行四边形的判定平行四边形的性质与判定的综合运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.三角形的中位线第三课时返回我们探索平行四边形时，常常转化为三角形，利用三角形的全等性质进行研究，今天我们一起来利用平行四边形来探索三角形的某些问题吧！【想一想】如图，有一块三角形蛋糕，准备平分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同，该怎样分呢？1.理解三角形中位线的概念，掌握它的性质.2.掌握三角形与平行四边形的相互转换，学会基本的添辅助线法.素养目标3.能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题.1.什么叫三角形的中线？有几条？2.三角形的中线有哪些性质？ABCD连结三角形的顶点和对边中点的线段叫三角形的中线.三角形的每一条中线把三角形的面积平分.三角形的中线相交于同一点.三角形的中位线三角形有3条中线.DEDE是ABC的中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.如图，在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE.则线段DE就称为ABC的中位线.问题1：一个三角形有几条中位线？你能在ABC中画出它所有的中位线吗？ABCDEF有三条，如图，ABC的中位线是DE、DF、EF.问题2：三角形的中位线与中线有什么区别？中位线是连接三角形两边中点的线段.中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段.问题3：如图，DE是ABC的中位线，DE与BC有怎样的关系？两条线段的关系位置关系数量关系分析：DE与BC的关系猜想：DEBC？平行角平行四边形或线段相等一条线段是另一条线段的一半倍长短线分析1：猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半问题4：如何证明你的猜想？分析2：互相平分构造平行四边形倍长DE证明：延长DE到F，使EF=DE连接AF、CF、DCAE=EC，DE=EF，四边形ADCF是平行四边形F四边形BCFD是平行四边形，CFADCFBD又，DFBCDEBC，如图，在ABC中，点DE分别是ABAC边的中点，求证：延长DE到F，使EF=DEF四边形BCFD是平行四边形ADECFEADE=F，连接FCAED=CEF，AE=CE，证法2：AD=CFBDCF又，DFBCDEBC，CFAD证明：如图，D、E、F分别是ABC的三边的中点，那么，DE、DF、EF都是ABC的中位线.FDEBC且DE=BC同理:DFAC且DF=AC；EFAB且EF=AB三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.三角形中位线定理：DE是ABC的中位线，DEBC且DE=BC符号语言：（AD=BDAE=CE)这个定理提供了证明线段平行以及线段成倍分关系的根据.F提示：中位线DE、EF、DF把ABC分成四个全等的三角形；有三组共边的平行四边形，它们是四边形ADFE和BDEF，四边形BFED和CFDE，四边形ADFE和DFCE.顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.面积等于原三角形面积的四分之一.例1如图，在ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分CAB，交DE于点F.若DF3，求AC的长.解：D、E分别为AC、BC的中点，DEAB，23.又AF平分CAB，13，12，ADDF3，AC2AD2DF6.利用中位线定理求线段1.三角形各边的长分别为6cm、10cm和12cm，连接各边中点所成三角形的周长是________.6101214cm653ABC测出MN的长，就可知A、B两点的距离.MN分别找出AC和BC的中点M、N.若MN=36m，则AB=2MN=72m如果，MN两点之间还有阻隔，你有什么解决办法？2.如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，怎样测出A、B两点的实际距离？根据是什么？例2如图，D、E分别是ABC的边AB、AC的中点，点O是ABC内部任意一点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E.求证：四边形DGFE是平行四边形.GFEDO四边形DGFE是平行四边形=证明：利用三角形的中位线判断平行四边形在ABC中，AD=BDAE=CE在OBC中，OG=BGOF=CF3.已知:如图点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，求证：四边形EFGH为平行四边形.证明：连接AC.E、F是AB、BC边中点EFAC且EFAC同理：HGAC且HGACEFHG且EFHG四边形EFGH为平行四边形.EFGHABCD例3如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，ABD=20，BDC=70，求PMN的度数解：M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，PN，PM分别是CDB与DAB的中位线，PM=AB，PN=DC，PMAB，PNDC，AB=CD，PM=PN，PMN是等腰三角形，PMAB，PNDC，MPD=ABD=20，BPN=BDC=70，利用三角形的中位线求角度MPN=MPD+(180NPB)=130，PMN=(180130)2=255cm5.如图，ABC中D、E分别是AB、AC的中点，A=50B=70则AED=.60604.如图MN为ABC的中位线若ABC=61则AMN=.611.（2018宁波）如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE若ABC=60，BAC=80，则1的度数为（）A50B40C30D20巩固练习B2.（2019铜仁市）如图，D是ABC内一点，BDCD，AD7，BD4，CD3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为（）A12B14C24D21巩固练习A1.如图，在ABC中，AB=6，AC=10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为（）A.8B.10C.12D.16D2.如图，点D、E、F分别是ABC的三边AB、BC、AC的中点.（1）若ADF=50，则B=；（2）已知三边AB、BC、AC分别为12、10、8，则DEF的周长为.5015ABCDFE3.如图，ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，求DOE的周长解：ABCD的周长为36，BC+CD=18点E是CD的中点，OE是BCD的中位线，DE=CD，OE=BC，DOE的周长为OD+OE+DE=（BD+BC+CD）=15.4.如图，在ABC中，ABAC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BDAB，求证：CD2CE.证明：取AC的中点F，连接BF.BDAB，BF为ADC的中位线，DC2BF.E为AB的中点，ABAC，BECF，ABCACB.BCCB，EBCFCBCEBF，CD2CE.F如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点求证：四边形EFGH为平行四边形.证明：如图，连接BD.E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点，EH是ABD的中位线，FG是BCD的中位线，EHBD且EH=BD，FGBD且FG=BD，EHFG且EH=FG，四边形EFGH为平行四边形.G如图，在四边形ABCD中，ACBD，BD=12，AC=16，E，F分别为AB，CD的中点，求EF的长解：取BC边的中点G，连接EG、FGE，F分别为AB，CD的中点，EG是ABC的中位线，FG是BCD的中位线，又BD=12，AC=16，ACBD，EG=8，FG=6，EGFG，EGACFGBD三角形的中位线三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半三角形的中位线定理三角形的中位线定理的应用课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习/p