y 15x 2 1 4 - x c ab a bc 3 x 3 - x x - 4 5xy y a m - n m + n 15x 2 abc x（x + 2） x 2 + 4 MULU 目 录 第一章 因式分解 1 因式分解 2 提公因式法 3 公式法 回顾与思考 复习题 第二章 分式与分式方程 1 认识分式 2 分式的乘除法 3 分式的加减法 4 分式方程 回顾与思考 复习题 2 5 9 16 16 因式分解号因式分解号整式乘法号整式乘法号 a 2 + 2ab ab + b b 2 =（ a （a + b） b） 2 a 2 - 2ab ab + b b 2 =（ a （a - b） b） 2 （ a （a + b） b） 2 = a 2 + 2ab ab + b b 2 （ a （a - b） b） 2 = a 2 - 2ab ab + b b 2 20 25 29 37 44 44 48 54 57 62 70 71 第三章 数据的分析 1 平均数 2 中位数与众数 3 从统计图分析数据的集中趋势 4 数据的离散程度 回顾与思考 复习题 78 91 100 106 113 113 第五章 平行四边形 1 平行四边形的性质 2 平行四边形的判定 3 三角形的中位线 4 多边形的内角和与外角和 回顾与思考 复习题 综合与实践 平面图形的镶嵌 总复习题 120 127 137 143 148 149 153 158 综合与实践 哪个城市夏天更热 75 第四章 图形的平移与旋转 1 图形的平移 2 图形的旋转 3 中心对称 4 图形变化的简单应用 回顾与思考 复习题 1 因式分解 1 第一章 因式分解 你能把 99 3 -99 化成几个整数的乘积的形式吗？类似地，你能把 a 3 -a 化 成几个整式的乘积的形式吗？ 本章将研究如何把一个多项式分解成若干个整式的乘积的形式，你将体会 到这一过程与整式乘法运算的联系. 学习目标 体会因式分解的意义 能运用提公因式法和公式法进行因式分解，发展运算能力 体会因式分解与整式乘法之间的联系与区别 因式分解号 整式乘法号 a 2 + 2 ab + b 2 = （a + b ） 2 a 2 - 2 ab + b 2 = （a - b ） 2 （a + b） 2 =a 2 + 2ab + b 2 （a - b） 2 =a 2 - 2ab + b 2 2 第一章 因式分解 1 因式分解 99 3 -99 能被 100 整除吗？你是怎样想的？与同伴进行交流. 小明是这样做的： 99 3 -99 =99 99 2 -99 1 =99（99 2 -1） =99 （99 -1）（99 + 1） =98 99 100. 所以，99 3 -99 能被 100 整除. 在这里，解决问题的关键是把算式 99 3 - 99 化成了几个数的积的形式. 99 3 -99 还能被 哪些正整数整除？ 你能尝试把 a 3 -a 化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴进行交流. 做一做 观察下面的拼图过程，写出相应的关系式. 议一议 a + b + c （1） _________________________________=________________________________ . m m m m b a c 1 因式分解 3 _________________________________=________________________________ . 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做 因式分解 （ factorization） . 例如，a 3 -a=a（ a+1）（ a-1）， am+bm+cm=m（ a+ b +c），x 2 +2x+1= （x +1） 2 都是因式分解. 因式分解也可称为分解因式. 做一做 做一做 计算下列各式： （1）3x（x -1） =___________； （2）m（a +b-1） =___________； （3）（ m+4）（ m-4） =___________；（4）（ y-3） 2 =___________. 根据上面的算式填空： （1）3x 2 -3x= （ ）（ ）； （2）ma +mb-m= （ ）（ ）； （3）m 2 -16= （ ）（ ）； （4）y 2 -6y+9= （ ）（ ） . 举例说明因式分解与整式乘法之间的关系. 随堂练习 1. 连一连： （2） 111 x x +1 x + 1 x x x 1 x 2 -y 2 （x +1） 2 9-25x 2 y（x -y） x 2 +2x+1 （3 -5x）（ 3+5x） xy-y 2 （x +y）（ x-y） 4 第一章 因式分解 2. 下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为什么？ （1）（ a+3）（ a-3） =a 2 -9； （2）m 2 -4= （m +2）（ m-2）； （3）a 2 -b 2 +1= （a +b）（ a-b） +1；（4）2mR +2mr=2m（R +r） . 习题1.1 知识技能 数学理解 1. 连一连： 5.（1）1 999 2 + 1 999 能被 1 999 整除吗？能被 2 000 整除吗？ （2）16.9 1 8 + 15.1 1 8 能被 4 整除吗？ 2. 下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？ （1）a（x + y）= ax + ay； （2）10 x 2 - 5x = 5x（2x - 1）； （3）y 2 - 4y + 4 =（y - 2） 2 ； （4）t 2 - 16 + 3t =（t + 4）（t - 4） + 3t. 3. 求代数式 IR 1 + IR 2 + IR 3 的值，其中 R 1 = 16.2，R 2 = 32.4，R 3 = 35.4，I = 2.5. 4. 将下列四个图形，拼成一个大长方形，再据此写出一个多项式的因式分解. x x1 1 （第 4 题） 问题解决 x 2 + 4x + 4 （x + 2）（x - 2） x 2 - 2x + 1 （x - 1）（x + 1） 4x 2 - 1 （x - 1） 2 x 2 - 1 （x + 2） 2 x 2 - 4 （2x - 1）（2x + 1） x x 2 2 2 提公因式法 5 议一议 （1）多项式 2x 2 +6x 3 中各项的公因式是什么？ （2）你能尝试将多项式 2x 2 +6x 3 因式分解吗？与同伴进行交流. 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从 而将多项式化成两个因式乘积的形式. 这种因式分解的方法叫做提公因式法. 例1 把下列各式因式分解： （1）3x +x 3 ； （2）7x 3 -21x 2 ； （3）8a 3 b 2 -12ab 3 c+ab. 解： （1）3x +x 3 =x3 +xx 2 =x（3 +x 2 ）； （2）7x 3 -21x 2 =7x 2 x -7x 2 3 =7x 2 （x -3）； （3）8a 3 b 2 -12ab 3 c+ab=ab8a 2 b-ab12b 2 c+ab1 =ab（8a 2 b-12b 2 c+1） . 2 提公因式法 多项式 ab+bc 各项都含有相同的因式吗？多项式 3x 2 +x 呢？多项式 mb 2 + nb-b 呢？尝试将这几个多项式分别写成几个因式的乘积，并与同伴交流 . 多项式 ab+bc 的各项都含有相同的因式 b. 我们把多项式各项都含有的 相同因式，叫做这个多项式各项的公因式（ common factor） . 如 b 就是多项式 ab+bc 各项的公因式. 6 第一章 因式分解 想一想 （1）提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什么关系？ （2）如何确定多项式各项的公因式？ 随堂练习 把下列各式因式分解： （1）ma +mb； （2）5y 3 +20y 2 ； （3）6x -9xy； （4）a 2 b-5ab； （5）4m 3 -6m 2 ； （6）a 2 b-5ab+9b； （7）3a 2 y-3ay+6ay 2 ； （8）10a 2 x-15a 2 y+5a 2 . 习题1.2 知识技能 1. 把下列各式因式分解： （1）2x 2 -4x； （2）8m 2 n+2mn； （3）a 2 x 2 y-axy 2 ； （4）3x 3 -3x 2 -9x； （5）12a 2 b-9ab 2 -15a 2 b 2 ； （6）2a 2 b 2 c 3 -4ab 2 c 3 +6a 2 bc 3 ； （7）56ax 2 y+14ax 2 y 2 -21a 2 xy 2 ； （8）15x 3 y 3 +5x 2 y 2 -20 x 2 y 3 . 2. （1）利用因式分解进行计算： mR 1 2 +mR 2 2 +mR 3 2 ，其中R 1 =20，R 2 =16，R 3 =12，m =3.14； （2）求 xz -yz 的值，其中 x =17.8，y =28.8，z = 7 11 ； （3）已知 ab =7，a +b=6，求多项式 a 2 b+ab 2 的值. 数学理解 3. 下列因式分解是否正确？为什么？ （1）2n 2 -nm-n=2n（n -m-1）； （2） -ab 2 +2ab-3b=-b（ab -2a-3）； （3）x（x -y） -y（x -y） =（x -y） 2 ； （4）a 2 -a-2=a（a -1） -2. 2 提公因式法 7 问题解决 4. 利用简便方法计算： （1）121 0.13+12.1 0.9-12 1.21； （2）2.34 13.2+0.66 13.2-26.4. 做一做 例2 把下列各式因式分解： （1）a（x -3） +2b（x -3）； （2）y（x +1） +y 2 （x +1） 2 . 解： （1）a（x -3） +2b（x -3） =（x -3）（ a+2b）； （2）y（x +1） +y 2 （x +1） 2 =y（x +1） +y（x +1） =y（x +1）（ xy+y+1） . 请在下列各式等号右边的括号前填入“ +”或“ -”，使等式成立： （1）2 -a=________（a -2）； （2）y -x=________（x -y）； （3）b +a=________（a +b）； （4）（ b-a） 2 =________（a -b） 2 ； （5） -m-n=________（m +n）； （6） -s 2 +t 2 =________（s 2 -t 2 ） . 你发现了什么规律？与同伴进行交流. 例3 把 -4m 3 +12m 2 -6m 因式分解. 解： -4m 3 +12m 2 -6m =-（4m 3 -12m 2 +6m） =-（2m2m 2 -2m6m +2m3） =-2m（2m 2 -6m+3） . 当 多 项 式 第 一 项 的 系 数是负数时，通常先提出 “ -”号，使括号内第一 项的系数成为正数 . 在提出 “ -”号时，多项式的各项 都要变号. 8 第一章 因式分解 例4 把下列各式因式分解： （1）a（x -y） +b（y -x）； （2）6（m -n） 3 -12（n -m） 2 . 解： （1）a（x -y） +b（y -x） =a（x -y） -b（x -y） =（x -y）（ a-b）； （2）6（m -n） 3 -12（n -m） 2 =6（m -n） 3 -12（m -n） 2 =6（m -n） 2 （m -n-2） . 随堂练习 把下列各式因式分解： （1）x（a +b） +y（a +b）； （2）3a（x -y） -（x -y）； （3） -a 2 +ab-ac； （4） -2x 3 +4x 2 +2x； （5）6（p +q） 2 -12（q +p）； （6）a（m -2） +b（2 -m）； （7）2（y -x） 2 +3（x -y）； （8）mn（m -n） -m（n -m） 2 . 习题1.3 知识技能 1. 把下列各式因式分解： （1） -24x 3 +12x 2 -28x； （2） -4a 3 b 3 +6a 2 b-2ab； （3） -2x 2 -12xy 2 +8xy 3 ； （4） -3a 3 m+6a 2 m-12am. 2. 把下列各式因式分解： （1）7（a -1） +x（a -1）； （2）3（a -b） 2 +6（b -a）； （3）2（m -n） 2 -m（m -n）； （4）x（x -y） 2 -y（y -x） 2 ； （5）m（a 2 +b 2 ） +n（a 2 +b 2 ）； （6）（ 2a+b）（ 2a-3b） -3a（ 2a+b）； （7）18（a -b） 3 -12b（b -a） 2 ； （8）x（x +y）（ x-y） -x（x +y） 2 . 3. 先因式分解，再计算求值： （1）4x（m -2） -3x（m -2），其中 x =1.5，m =6； （2）（ a-2） 2 -6（2 -a），其中 a =-2. 3 公式法 9 3 公式法 观察多项式 x 2 -25， 9x 2 -y 2 ，它们有什么共同特征？尝试将它们分别写 成两个因式的乘积，并与同伴进行交流. 事实上，把乘法公式（a +b）（ a-b） =a 2 -b 2 反过来，就得到 a 2 -b 2 = （a +b）（ a-b） . 问题解决 4. 某大学有三块草坪，第一块草坪的面积为（ a+b） 2 m 2 ，第二块草坪的面积 为 a（ a+b） m 2 ，第三块草坪的面积为 b（ a+b） m 2 ，求这三块草坪的总面积. 5. 已知实数 a，b 满足 ab =3，a -b=2，求代数式 - 2 3 a 4 b 3 + 2 3 a 3 b 4 的值. 例1 把下列各式因式分解： （1）25 -16x 2 ； （2）9a 2 - 1 4 b 2 . 解： （1）25 -16x 2 =5 2 - （4x） 2 = （5 +4x）（ 5-4x）； （2）9a 2 - 1 4 b 2 = （3a） 2 - （ 1 2 b） 2 = （3a + 1 2 b）（ 3a- 1 2 b） . 例2 把下列各式因式分解： （1）9（m +n） 2 - （m -n） 2 ； （2）2x 3 -8x. 解： （1）9（m +n） 2 - （m -n） 2 =3（m +n） 2 - （m -n） 2 =3（m +n） +（m -n）3（m +n） -（m -n） 10 第一章 因式分解 =（3m +3n+m-n）（ 3m+3n-m+n） =（4m +2n）（ 2m+4n） =4（2m +n）（ m+2n）； （2）2x 3 -8x=2x（x 2 -4） =2x（x 2 -2 2 ） =2x（x +2）（ x-2） . 当多项式的各项含有公 因式时，通常先提出这个公因 式，再进一步因式分解. 随堂练习 1. 判断正误： （1）x 2 +y 2 = （x +y）（ x+y）； （ ） （2）x 2 -y 2 = （x +y）（ x-y）； （ ） （3） -x 2 +y 2 = （ -x+y）（ -x-y）； （ ） （4） -x 2 -y 2 =-（x +y）（ x-y） . （ ） 2. 把下列各式因式分解： （1）a 2 b 2 -m 2 ； （2）（ m-a） 2 -（n +b） 2 ； （3）a 2 - （a +b-c） 2 ； （4） -16x 4 +81y 4 . 3. 如图，在一块边长为 a cm 的正方形纸片的四角，各剪 去一个边长为 b cm 的正方形，求剩余部分的面积 . 如 果 a =3.6，b =0.8 呢？ 习题1.4 知识技能 1. 把下列各式因式分解： （1）a 2 -81； （2）36 -x 2 ； （3）1 -16b 2 ； （4）m 2 -9n 2 ； （5）0.25q 2 -121p 2 ； （6）169x 2 -4y 2 ； （7）9a 2 p 2 -b 2 q 2 ； （8） 49 4 a 2 -x 2 y 2 . a b （第 3 题） 3 公式法 11 形如 a 2 2ab+b 2 的 式子称为完全平方式. 问题解决 3. 如图，大小两圆的圆心相同，已知它们的半径分别是 R cm 和 r cm，求它们所围成的环形的面积 . 如果 R=8.45，r =3.45 呢？（ 取 3.14） 把乘法公式（a +b） 2 =a 2 +2ab+b 2 ，（a -b） 2 =a 2 -2ab+b 2 反过来， 就得到 a 2 +2ab+b 2 = （a +b） 2 ，a 2 -2ab+b 2 = （a -b） 2 . 由因式分解与整式乘法的关系可以看出， 如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某 些多项式因式分解 . 通常我们把运用乘法公式 进行因式分解的方法叫做公式法. r R （第 3 题） 2. 把下列各式因式分解： （1）（ m+n） 2 -n 2 ； （2）49（a -b） 2 -16（a +b） 2 ； （3）（ 2x+y） 2 - （x +2y） 2 ； （4）（ x 2 +y 2 ） 2 -x 2 y 2 ； （5）3ax 2 -3ay 4 ； （6）p 4 -1. 例3 把下列完全平方式因式分解： （1）x 2 +14x+49； （2）（ m+n） 2 -6（m +n） +9. 解： （1）x 2 +14x+49=x 2 +2 7x+7 2 = （x +7） 2 ； （2）（ m+n） 2 -6（m +n） +9= （m +n） -3 2 = （m +n-3） 2 . 例4 把下列各式因式分解： （1）3ax 2 +6axy+3ay 2 ； （2） -x 2 -4y 2 +4xy. 12 第一章 因式分解 随堂练习 1. 下列多项式中，哪几个是完全平方式？请把是完全平方式的多项式因式分解： （1）x 2 -x+ 1 4 ； （2）9a 2 b 2 -3ab+1； （3） 1 4 m 2 +3mn+9n 2 ； （4）x 6 -10 x 3 -25. 2. 把下列各式因式分解： （1）x 2 -12xy+36y 2 ； （2）16a 4 +24a 2 b 2 +9b 4 ； （3） -2xy-x 2 -y 2 ； （4）4 -12（x -y） +9（x -y） 2 . 读一读 智慧数 如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”. 例如，16 =5 2 -3 2 ，16 就是一个智慧数. 在正整数中，从 1 开始，第 2 012 个智慧数是 哪个数？ 小颖的方法是一个一个找出来： 3=2 2 -1 2 ，5 =3 2 -2 2 ，7 =4 2 -3 2 ， 8=3 2 -1 2 ，9 =5 2 -4 2 ，11 =6 2 -5 2 ， 小明认为小颖的方法太麻烦. 他想到： 设 k 是正整数，由于 （k +1） 2 -k 2 =（k +1+k）（k+1-k）=2k+1， 所以，除 1 外，所有的奇数都是智慧数. 解： （1）3ax 2 +6axy+3ay 2 =3a（x 2 +2xy+y 2 ） =3a（x +y） 2 ； （2） -x 2 -4y 2 +4xy=-（x 2 +4y 2 -4xy） =-（x 2 -4xy+4y 2 ） =-x 2 -2x2y + （2y） 2 =-（x -2y） 2 . 3 公式法 13 又因为（k +1） 2 -（k -1） 2 =（k +1+k-1）（k+1-k+1）=4k， 所以，除 4 外，所有能被 4 整除的偶数都是智慧数. 还剩什么数没搞清楚呢？还剩被 4 除余 2 的数. 试一下，2，6，10 都不是智慧数. 能否下结论：被 4 除余 2 的正整数都不是智慧 数？不行！特殊不能代替一般. 那怎么办呢？小明“卡壳”了！ 小亮认为，如果 4k +2 是智慧数，那么必有两个正整数 m 和 n，使得 4k+2=m 2 -n 2 ， 即 2（2k +1）=（m +n）（m-n）. （ * ） 因为 m+n 和 m-n 这两个数的奇偶性相同，所以（ * ）式右边要么是 4 的倍数， 要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是 4 的倍数，可见左、右两边不相等. 所以 4k+2 不是智慧数，即被 4 除余 2 的正整数都不是智慧数. 至此，问题就比较清楚了，把从 1 开始的正整数依次每 4 个分成一组，除第一组 有 1 个智慧数外，其余各组都有 3 个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数. 有了这些结论，再找第 2 012 个智慧数就容易多了！同学们，你们知道这个智慧 数是多少吗？ 习题1.5 知识技能 1. 把下列各式因式分解： （1）x 2 y 2 -2xy+1； （2）9 -12t+4t 2 ； （3）y 2 +y+ 1 4 ； （4）25m 2 -80m+64； （5） x 2 4 +xy+y 2 ； （6）a 2 b 2 -4ab+4. 2. 把下列各式因式分解： （1）（ x+y） 2 +6（x +y） +9； （2）a 2 -2a（b +c） +（b +c） 2 ； （3）4xy 2 -4x 2 y-y 3 ； （4） -a+2a 2 -a 3 . 14 第一章 因式分解 数学理解 问题解决 3. 已知多项式 x 2 +1 与一个单项式的和是一个整式的完全平方，请你找出一个满 足条件的单项式. 4. 两个连续奇数的平方差能被 8 整除吗？为什么？ 想一想 多项式 x（x +6） +9 能因式分解吗？与同伴进行交流. 例5 把 y（y +4） -4（y +1）因式分解. 解：y（y +4） -4（y +1） =y 2 +4y-4y-4 =y 2 -4 =（y +2）（ y-2） . 例6 把（x 2 +1） 2 -4x 2 因式分解. 解： （x 2 +1） 2 -4x 2 =（x 2 +1） 2 - （2x） 2 =（x 2 +2x+1）（ x 2 -2x+1） =（x +1） 2 （x -1） 2 . 议一议 多项式因式分解的一般步骤是什么？与同伴进行交流. 3 公式法 15 1. 把下列各式因式分解： （1）a（a -2） +1； （2）m（m +9） -9（m +1）； （3）x（4 -x） -4. 2. 把下列各式因式分解： （1）x 4 -2x 2 +1； （2）（ y 2 +9） 2 -36y 2 ； （3）2（x 2 - 1 2 ） -x 4 . 随堂练习 读一读 可化为 x 2 +（ a+b） x+ab型的二次三项式的因式分解 利用多项式的乘法法则，可以得到 （x +a）（x+b）=x 2 +（a +b）x +ab. 反过来，则有 x 2 +（a +b）x +ab=（x +a）（x+b）. 这就是说，对一个二次项系数为 1 的二次三项式 x 2 +mx+n，如果能够把常数 项 n 分解成两个因数 a，b 的积，并且 a 与 b 的和恰好等于一次项的系数 m，那么，这 个二次三项式就可以分解成（x +a）（x+b）的积，即 x 2 +mx+n=（x +a）（x+b）， 其中，ab =n，a +b=m. 例 把二次三项式 x 2 -4x-12 因式分解. 分析：常数项- 12 可以分解为： -12=1 （-12）=（-1） 12 =2 （-6）=（-2） 6 =3 （-4）=（-3） 4， 其中，恰有 2 +（-6）=-4. 解： x 2 -4x-12 =（x +2）x +（-6） =（x +2）（x-6）. 利用上述方法，可以将部分特殊的二次三项式便捷地解出来. 同学们可以仿照上 述方法将二次三项式 x 2 +2x-15 因式分解. 16 第一章 因式分解 回顾与思考 1. 举例说明什么是因式分解. 2. 因式分解与整式乘法有什么关系？ 3. 因式分解常用的方法有哪些？ 4. 用适当的方式梳理本章的知识，并与同伴进行交流. 复习题 知识技能 1. 把下列各式因式分解： （1）7x 2 -63； （2）a 3 -a； （3）3a 2 -3b 2 ； （4）y 2 -9（x +y） 2 ； （5）a（x -y） -b（y -x） +c（x -y）； （6）x（m +n） -y（n +m） +（m +n）； 习题1.6 知识技能 1. 把下列各式因式分解： （1）（ x+1） 2 -4x； （2）（ m+n） 3 -4（m +n）； （3）（ x+1）（ x-1） -3； （4）（ x+2）（ x+3） + 1 4 . 2. 把下列各式因式分解： （1）x 4 -8x 2 y 2 +16y 4 ； （2）（ b 2 +c 2 ） 2 -4b 2 c 2 ； （3）（ x 2 -2） 2 -4； （4）x 4 -18x 2 +81. 复习题 17 （7）（ x+y） 2 -16（x -y） 2 ； （8）a 2 （a -b） 2 -b 2 （a +b） 2 ； （9）（ x+y+z） 2 - （x -y-z） 2 ； （10）（ x+y） 2 -14（x +y） +49. 2. 把下列各式因式分解： （1）a 2 b 2 -0.01； （2）x 2 y-2xy 2 +y 3 ； （3）16 - （2a +3b） 2 ； （4）（ a 2 +4） 2 -16a 2 ； （5）x 2 -xy+ 1 4 y 2 ； （6）a 2 x 2 +16ax+64； （7）a 4 -8a 2 b 2 +16b 4 ； （8）9a 2 -6a（a +b） +（a +b） 2 . 3. 先因式分解，然后计算求值： （1）9x 2 +12xy+4y 2 ，其中 x = 4 3 ，y =- 1 2 ； （2）（ a + b 2 ） 2 - （ a - b 2 ） 2 ，其中 a =- 1 8 ，b =2. 4. 把下列各式因式分解： （1）2x 2 +2x+ 1 2 ； （2）（ x+1）（ x+2） + 1 4 . 问题解决 数学理解 7. 利用因式分解计算： （1）2 2 014 -2 2 013 ； （2）（ -2） 101 + （ -2） 100 . 8. 如图，在半径为 R 的圆形钢板上，冲去半径为 r 的四个小圆，利用因式分解计算当 R=7.8 cm，r =1.1 cm 时剩余部分的面积（ 取 3.14） . （第 8 题） 5. 利用因式分解说明：25 7 -5 12 能被 120 整除. 6. 已知 x + y = 1，求 1 2 x 2 + xy + 1 2 y 2 的值. l dD （第 9 题） 18 第一章 因式分解 9. 如图，某农场修建一座小型水库，需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径 d=45 cm，外径 D =75 cm，长 l =300 cm. 利用因式分解计算浇制一节这样的管 道约需要多少立方米的混凝土（ 取 3.14，结果精确到 0.01 m 3 ） . 10. 已知正方形的面积是 9x 2 +6xy+y 2 （x 0，y 0），利用因式分解写出表示该正 方形的边长的代数式. 11. 当 x 取何值时，多项式 x 2 +2x+1 取得最小值？ 12. 正方形的周长比正方形的周长长 96 cm，它们的面积相差 960 cm 2 . 求这两个 正方形的边长. 联系拓广 13. 当 k 取何值时，100 x 2 -kxy+49y 2 是一个完全平方式？ 14. 计算下列各式： （1）1 - 1 2 2 =_________； （2）（ 1- 1 2 2 ）（ 1- 1 3 2 ） =_________； （3）（ 1- 1 2 2 ）（ 1- 1 3 2 ）（ 1- 1 4 2 ） =_________. 你能根据所学知识找到计算上面算式的简便方法吗？请你利用你找到的简便方法 计算下式： （1 - 1 2 2 ）（ 1- 1 3 2 ）（ 1- 1 4 2 ）（1 - 1 9 2 ）（ 1- 1 10 2 ）（1 - 1 n 2 ） . 15. 2 48 -1 可以被 60 和 70 之间的某两个数整除，求这两个数. 1 认识分式 19 第二章 分式与分式方程 y 15x 2 1 4 - x c ab a bc 3 x 3 - x x - 4 5xy y a m - n m + n 15x 2 abc x（x + 2） x 2 + 4 学习目标 了解分式的概念，探索分式的基本性质 能进行分式的四则运算，发展运算能力 会解可化为一元一次方程的分式方程 能运用分式方程解决一些简单的实际问题，发展应用意 识，体会模型思想 我们在数学学习中会遇到诸如 a+1 2a ， 8 a-x ， x + 2 y 之类的式子，你知道这 些式子与整式有什么区别吗？你认为 x（x +2） xy 与 x + 2 y 相等吗？ 你见过类似于 1 x-2 = 3 x 这样的方程吗？你能求出它的解吗？ 本章将学习分式的概念、性质和四则运算，以及分式方程的解法，并应用 分式方程解决一些简单问题. 20 第二章 分式与分式方程 议一议 做一做 （ 1） 2010年上海世博会吸引了成千上万的参观者，某一时段内的统计 结果显示，前 a 天日均参观人数 35 万人，后 b 天日均参观人数 45 万人，这 （a +b）天日均参观人数为多少万人？ （ 2）某书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册 a 元，现每册降 价 x 元销售，当这种图书的库存全部售出时，其销售额为 b 元 . 降价销售开始 时，该书店这种图书的库存量是多少？ 上面问题中出现了代数式 2 400 x ， 2 400 x + 30 ， 35a + 45b a + b 和 b a - x ，它们有什 面对日益严重的土地沙化问题，某县决定在一定期限内固沙造林 2 400 公 顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多 30 公顷，结果提前完成原计划的 任务 . 如果设原计划每月固沙造林 x 公顷，那么 （1）原计划完成造林任务需要多少个月？ （2）实际完成造林任务用了多少个月？ 1 认识分式 1 认识分式 21 么共同特征？它们与整式有什么不同？ 一般地，用 A， B 表示两个整式， A B 可以表示成 A B 的形式 . 如果 B 中 含有字母，那么称 A B 为分式（ fraction），其中 A 称为分式的分子，B 称为分式 的分母. 对于任意一个分式，分母都不能为零. 例1 （1）当 a =1， -2 时，分别求分式 a + 1 2a - 1 的值； （2）当 a 取何值时，分式 a + 1 2a - 1 的值为零？ （3）当 a 取何值时，分式 a + 1 2a - 1 有意义？ 解： （1）当 a =1 时， a + 1 2a - 1 = 1 + 1 2 1 - 1 =2； 当 a =-2 时， a + 1 2a - 1 = -2 + 1 2 （- 2） - 1 = 1 5 . （2）当分子的值为零，分母的值不为零时，分式的值为零. 由于 a +1=0 时，a =-1，此时分母 2a -1 0. 所以，当 a =-1 时，分 式 a + 1 2a - 1 的值为零. （3）当分母的值等于零时，分式没有意义，除此之外，分式都有意义. 由分母 2a -1=0，得 a = 1 2 . 所以，当 a 取 1 2 以外的任何实数时，分式 a + 1 2a - 1 都有意义. 随堂练习 1. 当 x 取什么值时，下列分式有意义？ （1） 8 x - 1 ； （2） 1 x + 9 . 2. 当 x =0， -2， 1 2 时，分别求分式 2x -1 3x + 2 的值. 3. 把甲、乙两种饮料按质量比 x y 混合在一起，可以调制成一种混合饮料 . 调制 1 kg 这种混合饮料需多少千克甲种饮料？ 22 第二章 分式与分式方程 习题2.1 知识技能 问题解决 1. 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1） b 2a ； （2） a + b 2 ； （3） - x + 1 4 - x ； （4） 1 2 xy +x 2 y . 2. 当 x 取什么值时，下列分式无意义？ （1） x 2x - 3 ； （2） x - 1 5x - 10 . 3. 当 a =-1，b = 2 3 时，求分式 a - b 4a + 3b 的值. 4. 列代数式： （1）水果店购进一箱橘子需要 a 元，已知橘子与箱子的总质量为 m kg，箱子的 质量为 n kg，为了不亏本，这箱橘子的零售价至少应定为每千克多少元？ （2）有两块棉田，第一块 x 公顷，收棉花 m 千克，第二块 y 公顷，收棉花 n 千 克，这两块棉田平均每公顷的棉产量是多少？ （ 3）一件商品售价 x 元，利润率为 a%（ a 0），则这种商品每件的成本是多 少元？ 你认为分式 a 2a 与 1 2 相等吗？ n 2 mn 与 n m 呢？与同伴交流. 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的 整式，分式的值不变. 这一性质可以用式子表示为： b a = b m a m ， b a = b m a m （m 0） . 例2 下列等式的右边是怎样从左边得到的？ （1） b 2x = b y 2xy （y 0）； （2） ax bx = a b . 解： （1）因为 y 0，所以 b 2x = b y 2x y = b y 2xy ； 1 认识分式 23 议一议 在化简 5x y 20 x 2 y 时，小颖和小明出现了分歧. 做一做 化简下列分式： （1） 5x y 20 x 2 y ； （2） a 2 +ab b 2 +ab . 5x y 20 x 2 y = 5x 20 x 2 . 5x y 20 x 2 y = 5x y 4x5xy = 1 4x . 你对他们两人的做法有何看法？与同伴交流. 在小明的化简结果中，分子和分母已没有公因式，这样的分式称为 最简分式 . 化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式. （2）因为 x 0，所以 ax bx = ax x bx x = a b . 例3 化简下列分式： （1） a 2 bc ab ； （2） x 2 -1 x 2 -2x +1 . 解： （1） a 2 bc ab = abac ab =ac； （2） x 2 -1 x 2 -2x +1 = （x -1）（x +1） （x -1） 2 = x +1 x -1 . 例 3 中， a 2 bc ab =ac，即分子、分母同时约去了整式 ab； x 2 -1 x 2 -2x +1 = x +1 x -1 ， 即分子、分母同时约去了整式 x -1. 把一个分式的分子和分母的公因式约去， 这种变形称为分式的约分（ reduction of a fraction） 在例 2（ 2）中， 为什么 x 0？ 24 第二章 分式与分式方程 随堂练习 1. 填空： （1） 2x x - y = （ ） （x - y）（x + y） （ x+y 0）； （2） y +2 y 2 - 4 = 1 （ ） . 2. 化简下列分式： （1） -14mn 2 k 4m 2 n ； （2） x -y （x -y） 3 ； （3） 4 -x 2 x 2 -2x . 想一想 （1）