第三十二章 投影与视图32.1 投 影学习目标1理解平行投影和中心投影的特征；(重点)2在投影面上画出平面图形的平行投影或中心投影(难点)教学过程一、情境导入北京故宫中的日晷闻名世界，是我国光辉灿烂文化的瑰宝它是我国古代利用日影测定时刻的仪器，它由“晷面”与“晷针”组成，当太阳光照在日晷中轴上产生投影，晷针的影子就会投向晷面，随着时间的推移，晷针的影的长度发生变化，晷针的影子在晷面上慢慢移动，聪明的古人以此来显示时刻本节课学习有关投影的知识二、合作探究探究点一：平行投影【类型一】 判断影子的形状例1下列图形，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是()解析：选项A.影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，正确；选项B.影子的方向不相同，错误；选项C.影子的方向不相同，错误；选项D.不同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，错误故选A.方法总结：平行投影特点：在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例【类型二】 平行投影作图例2在某一时刻，操场上有三根测杆，如图所示，其中测杆AB的影子为BC，你能画出测杆MN的影子NP吗？若测杆XY的影子的顶端恰好落在点B处，且XYMN，你能找出XY所在的位置吗？请将上述问题画在下面的示意图中，并简述画法分析：过物体顶点作光线的平行线得到物体的平行投影，再根据平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的可找到XY的位置解：连接AC，过点M作MPAC交NC于点P，则NP为MN的影子过点B作BXAC，且BXMP，过X作XYNC交NC于点Y，则XY即为所求方法总结：先根据物体投影确定光线，然后利用两个物体的顶端和各自影子的对应点的连线是一组平行线，过物体顶端作平行线与地面相交，从而确定影子【类型三】 平行投影的相关计算例3李航想利用太阳光测量楼高他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量方法如下：如示意图，李航边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同此时，测得李航落在墙上的影子高度CD1.2m，CE0.6 m，CA30 m(点A、E、C在同一直线上)已知李航的身高EF是1.6m，请你帮李航求出楼高AB.分析：过点D作DNAB，可得四边形CDME、ACDN是矩形，即可证明DFMDBN，从而得出BN，进而求得AB的长解：过点D作DNAB，垂足为N，交EF于M点，四边形CDME、ACDN是矩形，ANMECD1.2 m，DNAC30 m，DMCE0.6 m，MFEFME1.61.20.4 m.EFAB，DFMDBN，即，BN20 m，ABBNAN201.221.2 m.答：楼高为21.2 m.方法总结：在同一时刻的物体高度与影长的关系：.探究点二：中心投影【类型一】 判断是否是中心投影例4下面属于中心投影的是()A太阳光下的树影 B皮影戏C月光下房屋的影子 D海上日出解析：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光在各选项中只有B选项得到的投影为中心投影故选B.方法总结：判断投影是中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点，那么所得到的投影就是中心投影【类型二】 判断影长的情况例5晚上小亮在路灯下散步，在小亮从远处走到灯下，再远离路灯这一过程中，他在地上的影子()A逐渐变短 B先变短后变长C先变长后变短 D逐渐变长解析：晚上小亮在路灯下散步，当小亮从远处走到灯下的时候，他在地上的影子由长变短，当他再远离路灯的时候，他在地上的影子由短变长故选B.方法总结：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线物体与投影面平行时的投影是放大(即位似变换)的关系【类型三】 中心投影作图例6如图是小明与爸爸(线段AB)、爷爷(线段CD)在同一路灯下的情景，粗线分别表示三人的影子请根据要求，进行作图(不写画法，但要保留作图痕迹)(1)画出图中灯泡所在的位置；(2)在图中画出小明的身高分析：(1)利用中心投影的图形的性质连接对应点得出灯泡位置即可；(2)根据灯泡位置即可得出小明的身高解：(1)如图所示：O即为灯泡的位置；(2)如图所示：EF即为小明的身高方法总结：连接物体和它影子的顶端所形成的直线必定经过点光源【类型四】 中心投影的相关计算例7如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1 m，继续往前走3 m到达E处时，测得影子EF的长为2 m，已知王华的身高是1.5 m，求路灯A的高度AB.分析：根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的光线三者构成的两个直角三角形相似解答解：当王华在CG处时，RtDCGRtDBA，即；当王华在EH处时，RtFEHRtFBA，即，.CGEH1.5 m，CD1 m，CE3 m，EF2 m，设ABx，BCy，解得y3，经检验y3是原方程的根，即，解得x6.即路灯A的高度AB6 m.方法总结：解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需要的线段，再求公共边的长度三、板书设计1平行投影的定义及应用；2中心投影的定义及应用教学反思本节以自主探索、合作交流为设计主线，从皮影戏、手影、日晷等学生熟悉的生活实际出发，引入物体投影的相关概念，通过观察图片等活动，使学生认识中心投影和平行投影的区别与联系，加强主动学习数学的兴趣，体现数学的应用价值