30.5 二次函数与一元二次方程的关系一、选择题1. 下列命题：若，则；若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；若，则二次函数的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3其中正确的是A. 只有 B. 只有 C. 只有 D. 只有2. 二次函数的图象如图所示，若一元二次方程有实数根，则m的取值范围是A. B. C. D. 3. 已知二次函数的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x012y0343那么关于它的图象，下列判断正确的是A. 开口向上 B. 与x轴的另一个交点是C. 与y轴交于负半轴 D. 在直线的左侧部分是下降的4. 在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线的一部分图象如图所示，它与x轴交于，与y轴交于点B ，则a的取值范围是A. B. C. D. 5. 二次函数的图象如图所示，那么一元二次方程为常数且的两根之和为A. 1 B. 2 C. -1 D. -26. 已知二次函数，当自变量x取m时对应的值大于0，当自变量x分别取、时对应的函数值为、，则、必须满足A. 、 B. 、 C. 、 D. 、7. 如图，教师在小黑板上出示一道题，小华答：过点；小彬答：过点；小明答：；小颖答：抛物线被x轴截得的线段长为你认为四人的回答中，正确的有A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个8. 已知函数，其中、为常数，且，若方程的两个根为、，且，则、的大小关系为A. B. C. D. 9. 抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，其中错误的结论为A. 方程的根为 B. C. D. 10. 已知抛物线的对称轴为，若关于x的一元二次方程在的范围内有解，则c的取值范围是A. B. C. D. 二、解答题11. 抛物线经过点、两点（1）求抛物线顶点D的坐标；（2）抛物线与x轴的另一交点为A，求的面积12. 在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线，经过点、（1）求此抛物线顶点C的坐标；（2）联结AC交y轴于点D，联结BD、BC，过点C作，垂足为点H，抛物线对称轴交x轴于G，联结HG，求HG的长13. 已知抛物线的对称轴是直线，（1）求证：；（2）若关于x的方程，有一个根为4，求方程的另一个根14. 抛物线与y轴交于点（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线与坐标轴的交点坐标；（3）当x取什么值时，？当x取什么值时，y的值随x的增大而减小？15. 如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线与x轴正半轴的交点，点B在抛物线上，其横坐标为2，直线AB与y轴交于点点M、P在线段AC上不含端点，点Q在抛物线上，且MQ平行于x轴，PQ平行于y轴设点P横坐标为m（1）求直线AB所对应的函数表达式（2）用含m的代数式表示线段PQ的长（3）以PQ、QM为邻边作矩形PQMN，求矩形PQMN的周长为9时m的值答案一、选择题1.【答案】B【解析】b2-4ac=（-a-c）2-4ac=（a-c）20，正确；若ba+c，则的大小无法判断，故不能得出方程有两个不等实根，错误；b2-4ac=4a2+9c2+12ac-4ac=4（a+c）2+5c2，因为a0，故（a+c）2与c2不会同时为0，所以b2-4ac0，正确；二次函数y=ax2+bx+c与y轴必有一个交点，而这个交点有可能跟图象与x轴的交点重合，故正确故选B2.【答案】A【解析】由图可知：y-3，即ax2+bx-3，ax2+bx+m=0，ax2+bx=-m，-m-3，m3故选A.3. 【答案】B【解析】A、由表格知，抛物线的顶点坐标是（1，4）故设抛物线解析式为y=a（x-1）2+4将（-1，0）代入，得a（-1-1）2+4=0，解得a=-1a=-10，抛物线的开口方向向下，故本选项错误；B、抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），对称轴是x=1，则抛物线与x轴的另一个交点是（3，0），故本选项正确；C、由表格知，抛物线与y轴的交点坐标是（0，3），即与y轴交于正半轴，故本选项错误；D、抛物线开口方向向下，对称轴为x=1，则在直线x=1的左侧部分是上升的，故本选项错误；故选B点睛：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解4. 【答案】B【解析】根据图象得：a0，b0，抛物线与x轴交于A（1，0），与y轴交于点B （0，3），a+b=-3，b0，-3a0，故选B5. 【答案】D【解析】抛物线与x轴的两交点坐标为（-3，0），（1，0），一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1=-3，x2=1，-3+1=-，即=2，一元二次方程ax2+bx+c-m=0的两根之和=-=-2故选D6. 【答案】B【解析】令yx2+x=0，解得：x=，当自变量x取m时对应的值大于0，m，点（m+1，0）与（m-1，0）之间的距离为2，大于二次函数与x轴两交点之间的距离，m-1的最大值在左边交点之左，m+1的最小值在右边交点之右点（m+1，0）与（m-1，0）均在交点之外，y10、y20故选B7. 【答案】C【解析】抛物线过（1，0），对称轴是x=2，解得a=1，b=-4，y=x2-4x+3，当x=3时，y=0，小华正确；当x=4时，y=3，小彬也正确，小明也正确；抛物线被x轴截得的线段长为2，已知过点（1，0），另一点为（-1，0）或（3，0），对称轴为y轴或x=2，此时答案不唯一，小颖错误故选C8. 【答案】C【解析】函数y=（x-x1）（x-x2）的图象与x轴的交点的横坐标分别是x1、x2；函数y=（x-x1）（x-x2）-2的图象是由函数y=（x-x1）（x-x2）的图象向下平移2个单位得到的，则方程（x-x1）（x-x2）-2=0或方程（x-x1）（x-x2）=2的两根x3、x4即为函数y=（x-x1）（x-x2）-2的图象与x轴的交点的横坐标，它们的大致图象如图所示,根据图象知，x3x1x2x4故选C9. 【答案】A【解析】x=-1时，y0，方程ax2+bx+c=0的根为-1这种说法不正确，结论A不正确；二次函数y=ax2+bc+c的图象与x轴有两个交点，0，即b2-4ac0，结论B正确；x=-，b=2a，顶点的纵坐标是=2，a=c-2，结论C正确；二次函数y=ax2+bc+c的图象的对称轴是x=-1，与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，与x轴的另一个交点A在点（0，0）和（1，0）之间，x=1时，y0，a+b+c0，结论D正确；不正确的结论为：A故选A点睛：二次函数的图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右（简称：左同右异）常数项c决定抛物线与y轴交点 抛物线与y轴交于（0，c）10. 【答案】D【解析】由抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=1，=1，=1， 解得：b=-2，x2-bx-c=x2+2x-c，令y1=x2+2x-c，可求其对称轴为：x=-1，根据题意，当x=2时，y10，x2+2x-c0，且当x=-1时，y10，x2+2x-c0，或当x=-3时，y0，9-6-c0，且当x=-1时，y10，x2+2x-c0，解得：-1c8，或-1c3，综上所述，-1c8故选D二、解答题11. 【答案】（1）D（1，4）；（2）6.【解析】（1）利用待定系数法代入求出a，c的值，进而利用配方法求出D点坐标即可；（2）首先求出图象与x轴的交点坐标，进而求出ABC的面积解：（1）由题意，得，解得，则y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，则D（1，4）；（2）由题意，得-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3；则A（-1，0），又B（3，0）、C（0，3），SABC436.12. 【答案】（1）C（2，-3）；（2）.【解析】（1）已知抛物线过A，B两点，可将A，B的坐标代入抛物线的解析式中用待定系数法即可求出抛物线的解析式然后可根据抛物线的解析式得出顶点C的坐标（2）分别求直线AC的解析式和BD的解析式，直线AC：y=-x-1，直线BD：y=x-1，可得D和P的坐标，证明BPGCPH和HPGCPB，列比例式可得HG的长.解：（1）把A（-1，0）、B（5，0）代入抛物线解析式，得，解得，抛物线的解析式为：yx2x (x2)23，顶点C（2，-3）（2）设BD与CG相交于点P，设直线AC的解析式为：y=kx+b把A（-1，0）和C（2，-3）代入得：，解得：则直线AC：y=-x-1，D（0，-1），同理可得直线BD：y=x-1，P(2，)CHP=PGB=90，GPB=CPHBPGCPH， ，HPGCPB，HG.13. 【答案】（1）见解析；（2）方程的另一个根为x=-2.【解析】（1）根据抛物线的对称轴为x=-=1可得；（2）根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点可得答案解：（1）抛物线的对称轴为直线x=1，-=1，2a+b=0；（2）关于x的方程ax2+bx-8=0，有一个根为4，抛物线与x轴的一个交点为（4，0），抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x轴的另一个交点为（-2，0），方程的另一个根为x=-214.【答案】（1）；（2）x轴：、；Y轴：（3）见解析.【解析】（1）将点（0，3）代入抛物线的解析式中，即可求得m的值；（2）可以令y=0，可得出一个关于x的一元二次方程，方程的解就是抛物线与x轴交点的横坐标；（3）根据（2）中抛物线与x轴的交点以及抛物线的开口方向即可求得x的取值范围解：（1）将点（0，3）代入抛物线y=-x2+（m-1）x+m，m=3，抛物线的解析式y=-x2+2x+3；（2）令y=0，-x2+2x+3=0，解得x1=3，x2=-1；x轴：A（3，0）、B（-1，0）；y轴：C（0，3）（3）抛物线开口向下，对称轴x=1；所以）当-1x3时，y0；当x1时，y的值随x的增大而减小15. 【答案】（1）直线AB的解析式为；（2）见解析；（3）m的值为或【解析】（1）先利用二次函数解析式求出A点和B点坐标，然后利用待定系数法求直线AB的解析式；（2）设P（m，-m+8），则Q（m，-m2+4m），讨论：当0m2时，PQ=m2-5m+8；当2m8时，PQ=-m2+5m-8；（3）先表示出M（m2-4m+8，-m2+4m），讨论：当0m2，QM=m2-5m+8，利用矩形周长列方程得到（m2-5m+8+m2-5m+8）=9，然后解方程求出满足条件m的值；当2m8，QM=-m2+5m-8，利用矩形周长列方程得到2（-m2+5m-8-m2+5m-8）=9，然后解方程求出满足条件m的值解：（1）当y=0时，-x2+4x=0，解得x1=0，x2=8，则A（8，0）；当x=2时，y=-x2+4x=6，则B（2，6），设直线AB所对应的函数表达式为y=kx+b，将A（8，0），B（2，6）代入可得，解得，所以直线AB的解析式为y=-x+8；（2）设P（m，-m+8），则Q（m，-m2+4m），当0m2时，PQ=-m+8-（-m2+4m）=m2-5m+8；当2m8时，PQ=-m2+4m-（-m+8）=-m2+5m-8；（3）MQx轴，M点的纵坐标为-m2+4m，M点的横坐标为m2-4m+8，即M（m2-4m+8，-m2+4m），当0m2，QM=m2-4m+8-m=m2-5m+8，2（PQ+QM）=9，2（m2-5m+8+m2-5m+8）=9，整理得2m2-20m+23=0，解得m1=，m2=（舍去）；当2m8，QM=m-（m2-4m+8）=-m2+5m-8，2（PQ+QM）=9，2（-m2+5m-8-m2+5m-8）=9，整理得2m2-20m+41=0，解得m1=，m2=（舍去）；综上所述，m的值为或