29.4 切线长定理学习目标1掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明2了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念3学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想教学过程一、情境导入新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案二、合作探究探究点一：切线长定理【类型一】利用切线长定理求三角形的周长例1如图，PA、PB分别与O相切于点A、B，O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在上若PA长为2，则PEF的周长是________解析：因为PA、PB分别与O相切于点A、B，所以PAPB，因为O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点为C，所以EAEC，CFBF，所以PEF的周长PEEFPFPEECCFPF(PEEC)(CFPF)PAPB224.【类型二】利用切线长定理求角的大小例2如图，PA、PB是O的切线，切点分别为A、B，点C在O上，如果ACB70，那么OPA的度数是________度解析：如图，连接OA、OB.PA、PB是O的切线，切点分别为A、B，OAPA，OBPB，OAPOBP90.又AOB2ACB140，APB360PAOAOBOBP360901409040.又易证POAPOB，OPAAPB20.故答案为20.方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形另外根据全等的判定，可得到PO平分APB.【类型三】切线长定理的实际应用例3为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径若测得PA5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的解：过O作OQAB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.AP、AQ为O的切线，AO为PAQ的平分线，即PAOQAO.又BAC60，PAOQAOBAC180，PAOQAO60.在RtOPA中，PA5，POA30，OP5(cm)，即铁环的半径为5 cm.探究点二：三角形的内切圆【类型一】求三角形的内切圆的半径例4如图，O是边长为2的等边ABC的内切圆，则O的半径为________解析：如图，连接OD.由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点所以OCD30，ODBC，所以CDBC，OC2OD.又由BC2，则CD1.在RtOCD中，根据勾股定理得OD2CD2OC2，所以OD212(2OD)2，所以OD.即O的半径为.方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三边的距离相等【类型二】求三角形的周长例5如图，RtABC的内切圆O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣弧(不包括端点D、E)上任一点P作O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N.若O的半径为r，则RtMBN的周长为()A r B.r C2r D.r解析：连接OD，OE，O是RtABC的内切圆，ODAB，OEBC.又MD，MP都是O的切线，且D、P是切点，MDMP，同理可得NPNE，CRtMBNMBBNNMMBBNNPPMMBMDBNNEBDBE2r，故选C.三、板书设计教学反思教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题明确三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等