29.3 切线的性质和判定学习目标1掌握判定直线与圆相切的方法，并能运用直线与圆相切的方法进行计算与证明(重点)；2掌握直线与圆相切的性质，并能运用直线与圆相切的性质进行计算与证明(重点，难点)；3能运用直线与圆的位置关系解决实际问题教学过程一、情境导入约在6000年前，美索不达米亚人做出了世界上第一个轮子圆形的木盘，你能设计一个办法测量这个圆形物体的半径吗？二、合作探究探究点一：切线的性质【类型一】 切线的性质的运用例1如图，点O是BAC的边AC上的一点，O与边AB相切于点D，与线段AO相交于点E，若点P是O上一点，且EPD35，则BAC的度数为()A20 B35 C55 D70解析：连接OD，O与边AB相切于点D，ODAD，ADO90.EPD35，EOD2EPD70，BAC90EOD20.故选A.方法总结：此题考查了切线的性质以及圆周角定理解题时要注意运用切线的性质，注意掌握辅助线的作法，灵活运用数形结合思想【类型二】 利用切线的性质进行证明和计算例2如图，PA为O的切线，A为切点直线PO与O交于B、C两点，P30，连接AO、AB、AC.(1)求证：ACBAPO.(2)若AP，求O的半径(1)证明：PA为O的切线，A为切点，OAP90.又P30，AOB60，又OAOB，AOB为等边三角形ABAO，ABO60.又BC为O的直径，BAC90.在ACB和APO中，BACOAP，ABAO，ABOAOB，ACBAPO；(2)解：在RtAOP中，P30，AP，AO1，即O的半径为1.方法总结：运用切线进行证明和计算时，一般连接切点与圆心，根据切线的性质转化已知条件，构造出等量关系求解【类型三】 探究圆的切线的条件例3如图，O是ABC的外接圆，ABAC10，BC12，P是上的一个动点，过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D.(1)当点P在什么位置时，DP是O的切线？请说明理由；(2)当DP为O的切线时，求线段BP的长解析：(1)当点P是的中点时，得，得出PA是O的直径，再利用DPBC，得出DPPA，问题得证；(2)利用切线的性质，由勾股定理得出半径长，进而得出AB的长，在RtABP中再次利用勾股定理即可求出BP的长解：(1)当点P是的中点时，DP是O的切线理由如下：ABAC，又，PA是O的直径，12，又ABAC，PABC.又DPBC，DPPA，DP是O的切线(2)连接OB，设PA交BC于点E.由垂径定理，得BEBC6.在RtABE中，由勾股定理，得AE8.设O的半径为r，则OE8r，在RtOBE中，由勾股定理，得r262(8r)2，解得r.在RtABP中，AP2r，AB10，BP.方法总结：判定直线是否为圆的切线时要从切线的性质入手，结合垂径定理与勾股定理，合理转化已知条件，得出结论探究点二：切线的判定【类型一】 判定圆的切线例4如图，点D在O的直径AB的延长线上，点C在O上，ACCD，D30，求证：CD是O的切线证明：连接OC，ACCD，D30，AD30.OAOC，2A30，160，OCD90，OCCD，CD是O的切线方法总结：切线的判定方法有三种：利用切线的定义，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；到圆心距离等于半径长的直线是圆的切线；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【类型二】 切线的性质与判定的综合应用例5如图，AB是O的直径，点F、C是O上的两点，且，连接AC、AF，过点C作CDAF交AF的延长线于点D，垂足为D.(1)求证：CD是O的切线；(2)若CD2，求O的半径分析：(1)连接OC，由弧相等得到相等的圆周角，根据等角的余角相等推得ACDB，再根据等量代换得到ACOACD90，从而证明CD是O的切线；(2)由推得DACBAC30，再根据直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半即可求得AB的长，进而求得O的半径(1)证明：连接OC，BC.，DACBAC.CDAF，ADC90.AB是直径，ACB90.ACDB.BOOC，OCBOBC，ACOOCB90，OCBOBC，ACDABC，ACOACD90，即OCCD.又OC是O的半径，CD是O的切线；(2)解：，DACBAC30.CDAF，CD2，AC4.在RtABC中，BAC30，AC4，BC4，AB8，O的半径为4.方法总结：若证明切线时有交点，需“连半径，证垂直”然后利用切线的性质构造直角三角形，在解直角三角形时常运用勾股定理求边长三、板书设计1切线的性质圆的切线垂直于经过切点的半径2切线的判定经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线教学反思教学过程中，经历切线性质的探究，从中可得出判定切线的条件，整个学习过程是一个逐层深入的过程因此教师应当对学生在探究过程中遇到的问题及时进行解决，使学生能更全面的掌握知识