教学课件数学九年级下册冀教版第三十章二次函数30.2二次函数的图像和性质第1课时二次函数y=ax的图像和性质学习目标1.正确理解抛物线的有关概念.（重点）2.会用描点法画出二次函数y=ax的图像，概括出图像的特点.（难点）3.掌握形如y=ax的二次函数图像的性质，并会应用.（难点）情境引入例1画出二次函数y=x2的图像.9410194典例精析1.列表：在y=x2中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：2.描点：根据表中xy的数值在坐标平面中描点（xy）3.连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y=x2的图像-33o369当取更多个点时，函数y=x2的图像如下：xy二次函数y=x2的图像形如物体抛射时所经过的路线我们把它叫做抛物线.这条抛物线关于y轴对称y轴就是它的对称轴.对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.练一练：画出函数y=-x2的图像.根据你以往学习函数图像性质的经验，说说二次函数y=x2的图像有哪些性质，并与同伴交流.xoy=x2议一议1.yx2是一条抛物线2.图像开口向上3.图像关于y轴对称4.顶点（0，0）5.图像有最低点y说说二次函数y=-x2的图像有哪些性质与同伴交流.oxyy=-x21.y-x2是一条抛物线2.图像开口向下3.图像关于y轴对称4.顶点（0，0）5.图像有最高点1.顶点都在原点3.当a0时，开口向上；当a0时，开口向下二次函数y=ax2的图像性质：知识要点2.图像关于y轴对称观察下列图像，抛物线y=ax2与y=-ax2（a0)的关系是什么？二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.xyOy=ax2y=-ax2交流讨论二次函数y=ax2的性质问题1：观察图形，y随x的变化如何变化？对于抛物线y=ax2（a0）当x0时，y随x取值的增大而增大；当x0时，y随x取值的增大而减小.知识要点问题2：观察图形，y随x的变化如何变化？对于抛物线y=ax2（a0）当x0时，y随x取值的增大而减小；当x0时，y随x取值的增大而增大.知识要点解：分别填表，再画出它们的图像，如图.84.520.5084.520.584.520.5084.520.5例2在同一直角坐标系中，画出函数的图像思考1：从二次函数开口大小与a的大小有什么关系？当a0时，a越大，开口越小.练一练：在同一直角坐标系中，画出函数的图像-8-4.5-2-0.50-8-4.5-2-0.5-8-4.5-2-0.50-8-4.5-2-0.5当a0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小.思考2从二次函数开口大小与a的大小有什么关系？对于抛物线y=ax2，a越大，抛物线的开口越小位置开口方向对称性顶点最值增减性开口向上在x轴上方开口向下在x轴下方a的绝对值越大，开口越小关于y轴对称，对称轴是直线x0顶点坐标是原点（0，0）当x=0时，y最小值=0当x=0时，y最大值=0在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减知识要点例1已知二次函数y=x2（1）判断点A（2，4）在二次函数图像上吗？（2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标；（3）点B、C、D在二次函数y=x2的图像上吗？在二次函数y=x2的图像上吗？典例精析（1）判断点A（2，4）在二次函数图像上吗？解：（1）当x=2时，y=x2=4，所以A（2，4）在二次函数图像上；（2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标；（2）点A关于x轴的对称点B的坐标为（2，-4），点A关于y轴的对称点C的坐标为（-2，4），点A关于原点O的对称点D的坐标为（-2，-4）；（3）点B、C、D在二次函数y=x2的图像上吗？在二次函数y=x2的图像上吗？当x=2时，y=x2=4，所以C点在二次函数y=x2的图像上；当x=2时，y=x2=4，所以B点在二次函数y=x2的图像上；当x=2时，y=x2=4，所以D点在二次函数y=x2的图像上已知是二次函数，且当x0时，y随x增大而增大，则k=.分析：是二次函数，即二次项的系数不为0，x的指数等于2.又因当x0时，y随x增大而增大即说明二次项的系数大于0.因此，解得k=22练一练例3.已知二次函数y2x2.(1)若点(2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图像上，则y1_____y2；(填“”“”或“”)；(2)如图，此二次函数的图像经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图像上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和分析：(1)把两点的横坐标代入二次函数表达式求出纵坐标，再比较大小即可得解；(2)由于函数图像经过点B，根据点B的横坐标为2，代入表达式可求出点C的纵坐标，再根据二次函数图像关于y轴对称求出OAOB，即图像左边部分与右边部分对称，两个阴影部分面积相加等于右边第一象限内的矩形面积(2)解：二次函数y2x2的图像经过点B，当x2时，y2228.抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它们的对称轴，OAOB，在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积，S阴影部分面积之和2816.二次函数yax2的图像关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图像中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降)，根据图像中函数值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解方法总结1.函数y=2x2的图像的开口对称轴顶点是在对称轴的左侧，y随x的增大而在对称轴的右侧y随x的增大而.2.函数y=-3x2的图像的开口对称轴是顶点是在对称轴的左侧y随x的增大而在对称轴的右侧y随x的增大而.向上向下y轴y轴(00)(00)减小减小增大增大xxyyOO3、如右图，观察函数y=（k-1）x2的图像则k的取值范围是.k14、说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：向上向下向下向上y轴y轴y轴y轴（00）（00）（00）（00）O5.若抛物线y=ax2（a0），过点（-1，2）.（1）则a的值是；（2）对称轴是，开口.（3）顶点坐标是，顶点是抛物线上的最值.抛物线在x轴的方（除顶点外）.(4)若A（x1y1)B(x2y2)在这条抛物线上，且x1x20则y1y2.2y轴向上（00）小上6.已知二次函数y=x2，若xm时，y最小值为0，求实数m的取值范围解：二次函数y=x2，当x=0时，y有最小值，且y最小值=0，当xm时，y最小值=0，m07.已知：如图，直线y3x4与抛物线yx2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积解：由题意得解得所以此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(1，1)直线y3x4与y轴相交于点C(0，4)，即CO4.SACOCO48，SBOC412，SABOSACOSBOC10.二次函数y=ax2的图像及性质画法描点法以对称轴为中心对称取点图像抛物线轴对称图形性质重点关注4个方面开口方向及大小对称轴顶点坐标增减性第2课时二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图像和性质学习目标1.会用描点法画出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k(a0)的图像.2.掌握二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k(a0)的图像的性质并会应用.(重点）3.理解二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k(a0)与y=ax2(a0)之间的联系.（难点）复习引入向上向下y轴（直线x=0）y轴（直线x=0）（0c）（0c）当x0时，y随x增大而增大.当x0时，y随x增大而减小.x=0时，y最小值=cx=0时，y最大值=c问题1说说二次函数y=ax2+c(a0)的图像的特征.问题2二次函数y=ax2+c（a0）与y=ax2（a0）的图像有何关系？答：二次函数y=ax2+c（a0）的图像可以由y=ax2（a0）的图像平移得到：当c0时，向上平移c个单位长度得到.当c0时，向下平移-c个单位长度得到.问题3函数的图像，能否也可以由函数平移得到？答：应该可以.例1画出二次函数的图像，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点-2-4.5-200-2-2-4.50 xy-8-8向下直线x=-1(-10)直线x=0直线x=1向下向下(00)(10)a0时，开口最____点是顶点a0时，开口最____点是顶点对称轴是，顶点坐标是.向上低向下高直线x=h(h0)知识要点二次函数y=a（x-h)2的特点若抛物线y3(x)2的图像上的三个点，A(3，y1)，B(1，y2)，C(0，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为________________解析：抛物线y3(x)2的对称轴为x，a30，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大点A的坐标为(3，y1)，点A在抛物线上的对称点A的坐标为(，y1)10，y2y3y1.故答案为y2y3y1.练一练y2y3y1向右平移1个单位想一想抛物线，与抛物线有什么关系？向左平移1个单位二次函数y=ax2与y=a（x-h)2的关系可以看作互相平移得到.左右平移规律：括号内：左加右减；括号外不变.知识要点例2.抛物线yax2向右平移3个单位后经过点(1，4)，求a的值和平移后的函数关系式解：二次函数yax2的图像向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为ya(x3)2，把x1，y4代入，得4a(13)2，平移后二次函数关系式为y(x3)2.方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”将二次函数y2x2的图像平移后，可得到二次函数y2(x1)2的图像，平移的方法是()A向上平移1个单位B向下平移1个单位C向左平移1个单位D向右平移1个单位解析：抛物线y2x2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y2(x1)2的顶点坐标是(1，0)则由二次函数y2x2的图像向左平移1个单位即可得到二次函数y2(x1)2的图像故选C.练一练C例3画出函数的图像.指出它的开口方向、顶点与对称轴.探究归纳解:先列表-5.5-3-1.5-1-1.5-3-5.5再描点、连线直线x=1开口方向向下；对称轴是直线x=-1顶点坐标是(-1-1)试一试画出函数y=2（x+1）2-2图像，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点.开口方向向下；对称轴是直线x=-1顶点坐标是(-1-2)知识要点二次函数y=a（x-h)2+k的特点a0时，开口最点是顶点a0时，开口最点是顶点对称轴是，顶点坐标是.向上低向下高直线x=h(hk)顶点式例4.已知二次函数ya(x1)2c的图像如图所示，则一次函数yaxc的大致图像可能是()解析：根据二次函数开口向上则a0，根据c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c0，故一次函数yaxc的大致图像经过第一、二、三象限故选A.典例精析A例5.已知二次函数ya(x1)24的图像经过点(3，0)(1)求a的值；(2)若A(m，y1)、B(mn，y2)(n0)是该函数图像上的两点，当y1y2时，求m、n之间的数量关系解：(1)将(3，0)代入ya(x1)24，得04a4，解得a1；(2)方法一：根据题意，得y1(m1)24，y2(mn1)24，y1y2，(m1)24(mn1)24，即(m1)2(mn1)2.n0，m1(mn1)，化简，得2mn2；方法二：函数y(x1)24的图像的对称轴是经过点(1，4)，且平行于y轴的直线，mn11m，化简，得2mn2.方法总结：已知函数图像上的点，则这点的坐标必满足函数的表达式，代入即可求得函数解析式例6要修建一个圆形喷水池在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高高度为3m水柱落地处离池中心3m水管应多长C(30)B(1，3)A解:如图建立直角坐标系点(13)是图中这段抛物线的顶点.因此可设这段抛物线对应的函数是这段抛物线经过点(30)，0=a(31)23.解得因此抛物线的解析式为:y=a(x1)23(0x3).当x=0时y=2.25.答:水管长应为2.25m.向左平移1个单位探究归纳怎样移动抛物线就可以得到抛物线？平移方法1向下平移1个单位怎样移动抛物线就可以得到抛物线？平移方法2向左平移1个单位向下平移1个单位二次函数y=ax2与y=a（x-h)2+k的关系可以看作互相平移得到的.y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+k上下平移左右平移上下平移左右平移平移规律简记为：上下平移，括号外上加下减；左右平移，括号内左加右减.二次项系数a不变.要点归纳1.请回答抛物线y=4(x3)27由抛物线y=4x2怎样平移得到由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的.2.如果一条抛物线的形状与形状相同，且顶点坐标是（4，-2），试求这个函数关系式.练一练1.把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是.2.二次函数y=2(x-)2图像的对称轴是直线_______，顶点是________.3.若（-，y1）（-，y2）（，y3）为二次函数y=(x-2)2图像上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为_______________.y=-(x+3)2或y=-(x-3)2y1y2y34.指出下列函数图像的开口方向对称轴和顶点坐标.向上直线x=3(30)直线x=2直线x=1向下向上(20)(10)5.在同一坐标系中，画出函数y2x2与y2(x-2)2的图像，分别指出两个图像之间的相互关系解：图像如图.函数y=2(x-2)2的图像由函数y=2x2的图像向右平移2个单位得到.y=2x226.已知一个二次函数图像的顶点为A(-13)且它是由二次函数y=5x2平移得到，请直接写出该二次函数的解析式.y=a(x-h)2+k课堂小结二次函数y=a(x-h)2的图像及性质图像性质对称轴是直线x=h顶点坐标是（h0)a的符号决定开口方向.左右平移平移规律：括号内：左加右减；括号外不变.一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状相同，位置不同.二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质图像特点当a0开口向上；当a0开口向下.对称轴是直线x=h顶点坐标是（hk).平移规律左右平移：括号内左加右减；上下平移：括号外上加下减.第3课时二次函数y=ax+bx+c的图像和性质1.会用配方法或公式法将一般式yax2bxc化成顶点式y=a(x-h)2+k.(难点）2.会熟练求出二次函数一般式yax2bxc的顶点坐标、对称轴.（重点）复习引入向上向下(hk)(hk)x=hx=h当xh时，y随着x的增大而增大.当xh时，y随着x的增大而减小.x=h时y最小=kx=h时y最大=k抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.(00)y轴0(0-5)y轴-5(-20)直线x=-20(-2-4)直线x=-2-4(43)直线x=43探究归纳我们已经知道y=a(x-h)2+k的图像和性质，能否利用这些知识来讨论的图像和性质？问题1怎样将化成y=a(x-h)2+k的形式？配方可得配方你知道是怎样配方的吗？(1)“提”：提出二次项系数；(2)“配”：括号内配成完全平方；(3)“化”：化成顶点式.提示:配方后的表达式通常称为配方式或顶点式.问题2你能说出的对称轴及顶点坐标吗？答：对称轴是直线x=6顶点坐标是（6，3）.问题3二次函数可以看作是由怎样平移得到的？答：平移方法1：先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的；平移方法2：先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.问题4如何用描点法画二次函数的图像？解:先利用图形的对称性列表7.553.533.557.5O然后描点画图，得到图像如图.问题5结合二次函数的图像，说出其性质.x=6当x6时，y随x的增大而增大.O例1画出函数的图像，并说明这个函数具有哪些性质.-6.5-4-2.5-2-2.5-4-6.5解:函数通过配方可得，先列表：典例精析然后描点、连线，得到图像如下图.由图像可知，这个函数具有如下性质：当x1时，函数值y随x的增大而增大；当x1时，函数值y随x的增大而减小；当x=1时，函数取得最大值，最大值y=-2.求二次函数y=2x2-8x+7图像的对称轴和顶点坐标.因此，二次函数y=2x2-8x+7图像的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2-1).解：练一练我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a0)化成顶点式y=a(x-h)2+k？y=ax+bx+c归纳总结二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质归纳总结二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质(1)(2)如果a0当x时，y随x的增大而增大.如果a时，y随x的增大而减小.例2已知二次函数y=x22bxc，当x1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（）Ab1Bb1Cb1Db1解析：二次项系数为10，抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x1时，y的值随x值的增大而减小，抛物线y=x22bxc的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=x22bxc的对称轴，即b1，故选D.D填一填(13)x=1最大值1(0-1)y轴最大值-1最小值-6(-6)直线x=合作探究问题1一次函数y=kx+b的图像如下图所示，请根据一次函数图像的性质填空：问题2二次函数的图像如下图所示，请根据二次函数的性质填空：x=0时，y=c.x=0时，y=c.二次函数y=ax2+bx+c的图像与a、b、c的关系向上向下y左右正负知识要点例3已知二次函数yax2bxc的图像如图所示，下列结论：abc0；2ab0；4a2bc0；(ac)2b2.其中正确的个数是()A1B2C3D4D由图像上横坐标为x2的点在第三象限可得4a2bc0，故正确；由图像上x1的点在第四象限得abc0，由图像上x1的点在第二象限得出abc0，则(abc)(abc)0，即(ac)2b20，可得(ac)2b2，故正确【解析】由图像开口向下可得a0，由对称轴在y轴左侧可得b0，由图像与y轴交于正半轴可得c0，则abc0，故正确；由对称轴x1可得2ab0，故正确；练一练二次函数的图像如图，反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图像是（）解析：由二次函数的图像得知：a0，b0.故反比例函数的图像在二、四象限，正比例函数的图像经过一、三象限.即正确答案是C.C1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：A.y轴B.直线x=C.直线x=2D.直线x=则该二次函数图像的对称轴为()D2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像如图所示，则下列结论：（1）a、b同号；（2）当x=1和x=3时，函数值相等；（3）4a+b=0；（4）当y=2时，x的值只能取0；其中正确的是.直线x=1（2）3.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a0)图像的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：b-2a=0；4a-2b+cy2.其中正确的是（）ABCDxyO2x=-1B4.根据公式确定下列二次函数图像的对称轴和顶点坐标：直线x=3直线x=8直线x=1.25直线x=0.5课堂小结顶点：对称轴：y=ax2+bx+c（a0)(一般式)配方法公式法(顶点式