教学课件数学九年级下册华东师大版第26章二次函数26.2二次函数的图像与性质第1课时函数y=ax+bx+c(abc是常数a0)叫做x的二次函数。什么叫二次函数我们学过用什么方法画函数的图象主要有哪些步骤观察y=x2的表达式选择适当的x的值并计算相应的y值完成下表：用描点法画二次函数y=x2的图象01230149描点连线y=x2观察图象回答问题串(1)你能描述图象的形状吗与同伴进行交流.(2)图象是轴对称图形吗？如果是它的对称轴是什么请你找出几对对称点并与同伴交流.(3)图象与x轴有交点吗？如果有交点坐标是什么(4)在对称轴左侧随着x值的增大y的值如何变化？在对称轴右侧呢？(5)当x取什么值时y的值最小最小值是什么？你是如何知道的？这条抛物线关于y轴对称y轴就是它的对称轴.对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线我们把它叫做抛物线.()二次函数y=-x2的图象是什么形状？(2)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？你能根据表格中的数据作出猜想吗？xy0-4-3-2-1123-10-8-6-4-22-1描点连线y=-x2抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=x2y=-x2（0，0）（0，0）y轴y轴在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方(除顶点外)向上向下当x=0时最小值为0.当x=0时最大值为0.在对称轴的左侧y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧y随着x的增大而减小.函数y=ax2(a0)的图象和性质.顶点坐标与对称轴.位置与开口方向.增减性与最值1.抛物线y=ax2的顶点是原点对称轴是y轴.2.当a0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外)它的开口向上并且向上无限伸展；当a0时抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外)它的开口向下并且向下无限伸展.3.当a0时在对称轴的左侧y随着x的增大而减小；在对称轴右侧y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.当a0时，在对称轴的左侧y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧y随着x增大而减小当x=0时函数y的值最大.二次函数y=ax2的性质练习：已知抛物线y=ax2经过点A(-2-8)(1)求此抛物线的函数解析式；(2)判断点B(-1-4)是否在此抛物线上(3)求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标(4)若点(mn)在此抛物线上那么点(-mn)是否在此抛物线上点(m，-n)呢回味无穷2.当a0时抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外）它的开口向上并且向上无限伸展；当a0时抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外）它的开口向下并且向下无限伸展。3.当a0时在对称轴的左侧y随着x的增大而减小；在对称轴右侧y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小。当a0时在对称轴的左侧y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧y随着x的增大而减小当x=0时函数y的值最大。1.抛物线y=ax2的顶点是原点对称轴是y轴。由二次函数y=x2和y=-x2知：第2课时比较二次函数y=x和y=x图象的异同：二次函数y=2x的图象是什么形状？它与二次函数y=x的图象有什么相同和不同？（1）二次函数y=2x1的图象与二次函数y=2x的图象有什么关系？（2）二次函数y=3x1的图象与二次函数y=3x的图象有什么关系？试说出函数yax2k（a、k是常数，a0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表向上向下y轴y轴(0，k)(0，k)练习1.把抛物线向下平移2个单位，可以得到抛物线，在向上平移5个单位，可以得到抛物线；2.对于函数y=x2+1，当x时，函数值y随x的增大而增大；当x时，函数值y随x的增大而减小；当x时，函数取得最值为。00=0大03.函数y=3x2+5与y=3x2的图象的不同之处是()A.对称轴B.开口方向C.顶点D.形状4.已知抛物线y=2x2-1上有两点(x1y1)(x1y1)且x1x20，则y1y2(填“”或“”)C5.已知一个二次函数图像的顶点在y轴上，并且离原点1个单位，图像经过点(10)，求该二次函数解析式。6.已知抛物线，把它向下平移，得到的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若ABC是直角三角形，那么原抛物线应向下平移几个单位？第3课时1.抛物线y=ax2的顶点是原点对称轴是y轴.2.当a0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外)它的开口向上并且向上无限伸展；当a0时抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外)它的开口向下并且向下无限伸展.3.当a0时在对称轴的左侧y随着x的增大而减小；在对称轴右侧y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.当a0时，在对称轴的左侧y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧y随着x增大而减小当x=0时函数y的值最大.二次函数y=ax2的性质在同一个直角坐标系里画出函数与的图象.xy0-8-6-4-2246820161284-2描点连线1012-10-122观察这两个函数的图象它们有什么关系2xyO函数y=(x-2)2的图象与y=x2的图象有什么关系它是轴对称图形吗它的对称轴和顶点坐标分别是什么二次项系数相同a0开口都向上2xyO顶点坐标是点(20).2xyO在对称轴(直线:x=2)左侧(即x2时)y的值随x的增大而减小.想一想这个函数的图象和性质会是什么样在同一个直角坐标系里画出函数和的图象xy0-8-6-4-2246820161284-2描点连线1012-10-122函数与的图象有什么关系说出它的顶点坐标和对称轴直线x=-21.当a0时抛物线在x轴的上方(除顶点外)它的开口向上并且向上无限伸展；当a0时抛物线在x轴的下方(除顶点外)它的开口向下并且向下无限伸展.2.当a0时在对称轴(x=h)的左侧y随着x的增大而减小在对称轴(x=h)右侧y随着x的增大而增大当x=h时函数y的值最小(是0).当a0时在对称轴(x=h)的左侧y随着x的增大而增大在对称轴(x=h)的右侧y随着x增大而减小当x=h时函数y的值最大(是0).二次函数y=a(x-h)2的性质.顶点坐标与对称轴.位置与开口方向.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=a(x-h)2(a0)y=a(x-h)2(a0)（h，0）（h，0）直线x=h直线x=h在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方(除顶点外)向上向下当x=h时最小值为0.当x=h时最大值为0.在对称轴的左侧y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧y随着x的增大而减小.第4课时你能用配方的方法把y=3x2-6x+5变形成y=a(x-h)2+k的形式吗函数y=ax+bx+c的图象二次函数y=3x2-6x+5的图象是什么形状它与我们已经作过的二次函数的图象有什么关系在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象由于y=3x2-6x+5=3(x-1)2+2因此我们先作二次函数y=3(x-1)2的图象观察图象回答问题(1)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系它是轴对称图形吗它的对称轴和顶点坐标分别是什么(2)x取哪些值时函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大x取哪些值时函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？我思考，我进步在同一坐标系中作出二次函数y=3xy=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.二次函数y=3xy=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象有什么关系它们的开口方向对称轴和顶点坐标分别是什么作图看一看二次函数y=3(x-1)2+2的图象和抛物线y=3xy=3(x-1)2有什么关系它的开口方向对称轴和顶点坐标分别是什么先猜一猜再做一做在同一坐标系中作二次函数y=3(x-1)2-2会是什么样二次函数y=3(x-1)2-2的图象与抛物线y=3x2和y=3(x-1)2有何关系它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么想一想二次函数y=-3(x-1)2+2和y=-3xy=-3(x-1)2的图象有什么关系它们的开口方向对称轴和顶点坐标分别是什么再作图看一看我思考，我进步在同一坐标系中作出二次函数y=-3(x-1)2+2y=-3(x-1)2-2y=-3x和y=-3(x-1)2的图象二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和y=-3xy=-3(x-1)2的图象有什么关系它们是轴对称图形吗它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2的图象和抛物线y=-3xy=-3(x-1)2有什么关系它的开口方向对称轴和顶点坐标分别是什么想一想二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2的图象和抛物线y=-3xy=-3(x+1)2二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2的图象和抛物线y=-3xy=-3(x+1)2有什么关系它的开口方向对称轴和顶点坐标分别是什么先想一想再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.二次函数y=a(x-h)+k与y=ax的关系一般地由y=ax的图象便可得到二次函数y=a(x-h)+k的图象:y=a(x-h)+k(a0)的图象可以看成y=ax的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h0时向右平移当h0时向上平移当k0时向下平移)得到的.因此二次函数y=a(x-h)+k的图象是一条抛物线它的开口方向、对称轴和顶点坐标与ahk的值有关.二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.顶点坐标与对称轴.位置与开口方向.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=a(x-h)2+k(a0)y=a(x-h)2+k(a0)（h，k）（h，k）直线x=h直线x=h由h和k的符号确定由h和k的符号确定向上向下当x=h时最小值为k.当x=h时最大值为k.在对称轴的左侧y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧y随着x的增大而减小.根据图形填表：1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标:2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系它是轴对称图形吗它的对称轴和顶点坐标分别是什么(2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系对于二次函数y=3(x+1)2当x取哪些值时y的值随x值的增大而增大当x取哪些值时y的值随x值的增大而减小二次函数y=3(x+1)2+4呢2.不同点:只是位置不同(1)顶点不同:分别是(hk)和(00).(2)对称轴不同:分别是直线x=h和y轴.(3)最值不同:分别是k和0.3.联系:y=a(x-h)+k(a0)的图象可以看成y=ax的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h0时向右平移当h0时向上平移当k0时向下平移)得到的.1.相同点:(1)形状相同(图像都是抛物线开口方向相同).(2)都是轴对称图形.(3)都有最(大或小)值.(4)a0时开口向上在对称轴左侧y都随x的增大而减小在对称轴右侧y都随x的增大而增大.a0时开口向下在对称轴左侧y都随x的增大而增大在对称轴右侧y都随x的增大而减小.二次函数y=a(x-h)+k与y=ax的关系1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标.必要时作出草图进行验证.2.填写下表:第5课时回答问题:说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标：函数y=ax+bx+c的对称轴，顶点坐标是什么？回答问题:1.说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标：例指出抛物线的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐标。并画出草图。对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交点时），这样就可以画出它的大致图象。练习1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.不论k取任何实数，抛物线y=a(x+k)2+k(a0)的顶点都在A.直线y=x上B.直线y=-x上C.x轴上D.y轴上3.若二次函数y=ax2+4x+a-1的最小值是2则a的值是4B.-1C.3D.4或-14.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如下与x轴的一个交点为(10)则下列各式中不成立的是()A.b2-4ac0B.abc0C.a+b+c=0D.a-b+c01xyo-1()（）5.若把抛物线y=x2+bx+c向左平移2个单位再向上平移3个单位得抛物线y=x2-2x+1则A.b=2B.b=-6c=6C.b=-8D.b=-8c=186.若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx-3的大致图象是()()-3-3-3-37.在同一直角坐标系中二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c的大致图象可能是（）第6课时问题1如图，要用长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花圃面积最大？根据题意，得y=-2x2+20 x（0x10）配方，得y=-2（x-5）2+50。函数图象开口向下，顶点坐标为（5，50），即当x=5时，函数取得最大值50.所以当AB长为5m，BC长为10m时，花圃的面积最大，为50m2.问题2某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件。该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润。经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？根据题意，得关系式为y=-100 x2+100 x+200你能完成吗？例5用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？即在实际问题中自变量往往是有一定取值范围的.因此在根据二次函数的顶点坐标求出当自变量取某个值时二次函数取最大值(或最小值)还要根据实际问题检验自变量的这一取值是否在取值范围内才能得到最后的结论.注意(1)设矩形的一边AB=xm那么AD边的长度如何表示？(2)设矩形的面积为ym2当x取何值时y的值最大最大值是多少如图在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.xmbm练一练1何时窗户通过的光线最多某建筑物的窗户如图所示它的上半部是半圆下半部是矩形制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)此时窗户的面积是多少练一练2用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场养鸡场一面用砖砌成另三面用竹篱笆围成并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱笆)问养鸡场的边长为多少米时养鸡场占地面积最大最大面积是多少ym2xmxm练一练3正方形ABCD边长5cm等腰三角形PQR中PQ=PR=5cmQR=8cm点D、C、Q、R在同一直线l上，当C、Q两点重合时，等腰PQR以1cms的速度沿直线l向左方向开始匀速运动，ts后正方形与等腰三角形重合部分面积为Scm2，解答下列问题：(1)当t=3s时，求S的值；(2)当t=3s时，求S的值；(3)当5st8s时，求S与t的函数关系式，并求S的最大值。练一练4课堂小结这节课，你学到了什么？第7课时(1)一般式：(2)顶点式：回味知识点：顶点坐标（h，k）目前接触的二次函数的关系式有哪些？例6一个二次函数的图象过点（01）它的顶点坐标是（89）求这个二次函数的关系式。已知：二次函数的图像的顶点的坐标是（14）并且抛物线与x轴的两个交点的距离是4求这个函数的解析式。练一练练一练已知：二次函数的图像的对称轴为直线x=3，并且函数有最大值为5，图像经过点(13)，求这个函数的解析式。解：由题意可知，该函数的顶点的坐标是（3，5），所以设y=a(x+3)5又抛物线经过点（1，3），得3=a(1+3)5a=2所求的函数解析式为y=2(x+3)5即y=2x12x13例7一个二次函数的图象过（01）、（24）、（3，10）三点，求这个二次函数解析式.解：设所求二次函数为y=ax2+bx+c，有这个函数的图象过（0，1），可得c=1.又由图象过（2，4）（3，10），得解得因此所求二次函数的关系式是已知：二次函数的图像经过点A(1，6)、B(3，0)、C(0，3)，求这个函数的解析式。解：设所求函数解析式为y=ax+bx+c.由已知函数图象过(-16)(30)(03)三点，得解这个方程组，得a=0.5，b=2.5，c=3所求得的函数解析式为y=0.5x2.5x+3练一练已知抛物线y=ax2+bx+c过直线与x轴、y轴的交点，且过（1，1），求抛物线的解析式.分析：直线与x轴、y轴的交点为（2，0），（0，3）则：练一练交点式拓广探索例已知：如图求二次函数关系式y=ax+bx+c.解：如图由题意得：抛物线与x轴交点的横坐标为1和3设所求函数关系式为y=a(x1)(x3)图象过点（0，3）3=a(01)(03)a=1所求的函数关系式为y=(x1)(x3)，即y=x+2x+3拓广探索例已知：抛物线与坐标轴交于ABC三个点，其中A的坐标为（-1，0），B的坐标为（3，0），并且ABC的面积是6，求这个函数的解析式。分析：由题意可知OC的长是3，所以点C的坐标为（0，3)或（0，-3）当C（0，3）时，函数的解析式为：y=-x+2x+3当C（0，-3）时，函数的解析式为：-y=-x+2x+3即y=x-2x-3拓广探索二次函数解析式的确定:归纳小结求二次函数解析式可用待定系数法.(1)当已知图象上任意三点的坐标或已知三对对应值时，使用一般式：来解；(2)当已知顶点坐标或最值时，使用顶点式来解，比较简单。二次函数解析式的确定:（3）过与x轴的两个交点和一普通点的二次函数解析式确定.交点式（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。解这类题目的一般步骤