27.1.1 圆的基本元素教学目标：使学生理解圆、等圆、等弧、圆心角等概念，让学生深刻认识圆中的基本概念。重点、难点： 1、重点：圆中的基本概念的认识。2、难点：对等弧概念的理解。教学过程：一、圆是如何形成的？请同学们画一个圆，并从画圆的过程中阐述圆是如何形成的。如右图，线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形。同学们想一想，如何在操场上画出一个很大的圆？说说你的方法。由以上的画圆和解答问题的过程中，让同学们思考圆的位置是由什么决定的？而大小又是由什么决定的？（圆的位置由圆心决定，圆的大小由半径长度决定）二、圆的基本元素问题：据统计，某个学校的同学上学方式是，有的同学步行上学，有的同学坐公共汽车上学，其他方式上学的同学有，请你用扇形统计图反映这个学校学生的上学方式。我们是用圆规画出一个圆，再将圆划分成一个个扇形，图23.1.1就是反映学校学生上学方式的扇形统计图。如图23.1.2,线段OA，OB，OC都是圆的半径，线段AC为直径，这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为“O”。线段AB、BC、AC都是圆O中的弦，曲线BC、BAC都是圆中的弧，分别记为、，其中像弧这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，像弧这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。如右图，AOB、BOC就是圆心角。结合上面的扇形统计图，进一步阐述圆心角、优弧、劣弧等圆中的基本元素。三、课堂练习1、直径是弦吗？弦是直径吗？2、半圆是弧吗？弧是半圆吗？ 3、半径相等的两个圆是等圆，而两段弧相等需要什么条件呢？ 4、说出右图中的圆心角、优弧、劣弧。 5、直径是圆中最长的弦吗？为什么？四、小结本节课我们认识了圆中的一些元素，同学应能从具体的图形中对这些元素加以识别。五、作业1、如图，AB是O的直径，点C在O上，那么哪一段弧是优弧，哪一段弧是劣弧？2、经过A、B两点的圆的几个？它们的圆心都在哪里？3、长方形的四个顶点在以 为圆心，以 为半径的圆上。4、如图，已知AB是O的直径，AC为弦，ODBC，交AC于点D，求OD的长。27.1.2 圆的对称性教学目标知识与技能1.通过动手操作，了解圆心角的概念，理解圆的中心对称性.2.掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等，以及它们在解题中的应用数学思考与问题解决1.通过旋转、观察、探索圆中圆心角、弧、弦之间的关系，应用它解决一些具体问题，进一步理解和体会研究几何图形的各种方法.2.在探索关系定理和它的推论中，感受类比的数学方法，在运用中感悟转化与化归的数学思想，获得分析和解决问题的一些方法.情感与态度积极观察、发现、探究数学问题，激发对数学的好奇心和求知欲.重点、难点重点理解圆的旋转不变性，掌握圆心角、弧、弦之间的三个关系定理，并能应用这些定理理解相关问题.难点圆心角、弧、弦之间的关系定理的探索及其应用.教学设计活动1：动手操作，得出性质及概念BOA图11.在两张透明纸片上，分别作半径相等的O和.2.将O绕圆心旋转任意角度后会出现什么情况？圆是中心对称图形吗？3.在O中画出两条不在同一条直线上的半径，构成一个角.教师提出圆心角的概念.如图1，AOB的顶点在圆心,像这样的角叫做圆心角4.判断图2中的角是否是圆心角，说明理由.图2活动2：继续操作，探索定理及推论1.在O中,作与圆心角AOB相等的圆心角，连接AB、，将两张纸片叠在一起，使O与O重合，固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA与OA重合,在操作的过程中，你能发现哪些等量关系，理由是什么？请与小组同学交流. 2.学生会出现多对等量关系，老师给予鼓励，然后，教师小结：在等圆中相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.3.在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等吗？所对的弦相等吗？4.综合2、3，我们可以得到关于圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.请用符号语言把定理表示出来.5.分析定理：去掉“在同圆或等圆中”这个条件，行吗？6.定理拓展：教师引导学生类比定理独立用类似的方法进行探究.(1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角，所对的弦也分别相等吗？(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，所对的弧也分别相等吗？综上所述，在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等设计意图：让学生通过动手操作，发现圆的旋转不变性，同时以问题引起学生思考，进行探究，发现关系定理，培养学生的分析能力和解题能力。接着，再以问题形式，搭建“脚手架”，引发学生思考，得出定理推论，这样可以完整的把握所学知识，感悟类比的数学方法. 活动1、2花大量的时间，就是要关注学生定理探究的过程，积累活动经验.活动3：学以致用，巩固定理归纳小结1.圆心角概念及圆的对称性2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，及其它们的应用图3.类比的数学方法及转化与化归的数学思想.作业布置1.如果两个圆心角相等，那么 （ ）A这两个圆心角所对的弦相等 B这两个圆心角所对的弧相等C这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D以上说法都不对图4MNBOCAD2.如图3，AB和DE是O的直径，弦ACDE，若弦BE=3，求弦CE的长3.如图4，在O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MCAB，NDAB，M、N在O上（1）求证：.（2）若C、D分别为OA、OB的中点，则成立吗？答案：1.D 2.33.（1）连接OM、ON,证明MCONDO,得出MOA=NOB,得出.（2）成立.板书设计一、圆心角的概念二、定理及其推论27.1.2 圆的对称性三、例3学生板书四、检测五、小结备课资料课外拓展阅读圆是一种美丽的图形春秋战国时期，墨翟在其所著墨经一书中就曾明确指出：“圆，一中同长也。”意思是说：圆，只有一个圆心，由圆心到圆周的长都相等圆在日常生活中的应用非常广泛，如车轮、方向盘、光盘等相传，英国的亚瑟王用圆桌宴请骑士，就是因为圆形桌子不易区分上、下席，所以每位骑士都是贵宾餐厅的餐桌大都做成圆形，月饼也大都做成圆形，这些都象征圆满、团圆、和谐毕达哥拉斯曾经说过：“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美丽的是圆形”备选练习1.下列说法，正确的是( )A.等弦所对的弧相等 B.等弧所对的弦相等DE图5CBFAC.圆心角相等，所对的弦相等 D.弦相等所对的圆心角相等2. 一条弦把圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角为______.3. 在O中，直径AB弦CD，则BOD=______.4. 在O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为 .5如图5，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，别交BC、AD于点E、F，若D=55，求弧BE的度数和弧EF的度数答案：1.B 2.90 3.60 4.60 5.弧BE的度数为70，弧EF的度数为55.27.1.3 圆周角【学习目标】1了解圆周角的概念2探索并了解同弧所对的圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征3通过探索猜想验证运用，感受分类、转化、整体思想，加强推理能力和应用意识【学习重、难点】重点：圆周角定理及推论1难点：探索圆周角定理及推论1【教学设计】一情境引入1教师提问：同学们，我们学校的三大特色是什么？（接着播放学校足球队参加比赛的图片）在一次体育课上，进行足球射门练习时，王老师安排了三个CEODBA射门点C、D、E，而点C、D、E与入射球门边缘点A、B在同一个圆上，小明认为在点D处射门角度大些，想在点A处射门从数学角度来说他的想法合理吗？为什么？2学生活动：针对提问自由发表看法3教师引导学生进行数学建模，绘出相关图形，连接OA、OB，复习上节课学习的圆心角；连接CA、CB、DA、DB、EA、EB，提出问题：C、D、E是圆心角吗？为什么？它们是什么角呢？这就是我们今天要学习的圆周角，并板书课题设计理念结合学校足球特色，由生活中的实际问题引入对圆周角定理的猜想，让学生以此建立数学模型来解决生活问题，从而激发学生的学习激情，并感受到数学来源于生活，又能服务于生活二探究归纳（一）自学探究，明晰概念1提出问题1：什么样的角叫圆周角? 请阅读教材，把相关概念的关键词勾画出来BO(2)2学习反馈：判断下列各图中的角，哪些是圆周角，为什么？EO(5)FO(6)DO(4)CO(3)AO(1)3学生活动：独立自学，勾画关键词，独立思考回答.4教师在学生自学时巡视，在学生展示时，可考虑让各学习小组的中等水平的学生或学差生回答，若学生回答错误，鼓励学生互助，进行剖析说理.设计理念让学生在初步理解什么是圆周角的基础上，在针对其定义的关键词进行反例对比练习，使学生真正落实对圆周角定义的理解.（二）合作探究，猜想验证1教师引导学生分析引入问题，其实就是判断圆周角C、D、E的大小问题那这几个圆周角有什么关系？对着弧AB的还有圆心角AOB，它与这些圆周角又有什么大小关系？提出问题2：下面，我们先探究同弧所对的圆周角与圆心角有什么大小关系2思路导航：测量下面几个图中同弧所对的圆周角与圆心角的度数COBA(3)OCBA(2)OBAC(1)3大胆猜想:圆周角的度数是同弧所对的圆心角的度数的 4尝试验证：如图（1）或图（2）或图（3），点A、B、C在O上求证：AOB=2ACB5学生活动：独立测量，接着分别在学习小组和班级交流讨论，得出猜想并尝试验证在投影或黑板上展示学生的验证方法，要落实书写的严密性与规范性6教师在学生测量与验证过程中巡视，针对学生具体学情进行指导和提示.先板书学生对图（1）的验证过程，再让各学习小组讨论图（2）、图（3）的验证方法；还可先由学优生分析图（2）的验证思路和理由后，再让学生类比思考图（3）的验证思路，最后完成书面验证教师还应引导学生归纳出相关的分类思想、转化思想和整体思想设计理念让学生先动手测量探索，进而大胆猜想圆周角定理，再进行严密验证，最后尝试运用解决反馈题，在“探索猜想验证”的过程中，让学生经历数学探索的过程，培养学生做数学研究的能力，并感受分类、转化思想，加强其推理能力和应用意识CDBA52837164（三）练探结合，归纳定理1试找出图中所有相等的圆周角（教材练习第1题）2提出问题3：同弧所对的圆周角有什么大小关系？3学生活动：独立思考回答，再尝试完成圆周角定理的文字归纳与符号表示4此环节考虑让学困生或中等水平的学生回答.学生回答时教师补充追问为什么，根据学生情况适当引导，并注重对学生回答的鼓励和肯定设计理念让学生在运用问题2所得结论解决问题时，完善圆周角定理:同弧所对的圆周角相等这样让学生在探中练，练中学，从而促进了课堂教学的有效开展（四）再次练探，归纳推论ACOB1提出问题4：半圆所对的圆周角的度数是多少？为什么？2学生活动：独立思考回答并说理，再尝试完成推论的文字归纳与符号表示3教师根据学生情况适当引导，并注重对学生回答的鼓励和肯定4学习反馈：如图，AB为O的直径，A=50，则B= 设计理念让学生在运用圆周角定理解题时，得到其推论1：直径（半圆）所对的圆周角是直角，反之亦然这样既练习了圆周角定理，又推导出推论1让学生在做中练，练中学，从而促进了课堂教学的有效开展三学以致用1解决情景引入的射门问题教材练习第2题教材练习第3题2学生活动：此环节可采用小组PK的方式进行可结合各学习小组的正确率进行计分3教师巡视并根据学生正确率的反馈情况进行评价由于以上题目是教材上的常规题目，应达到较高的过关率，可考虑中等水平的学生或学困生展示设计理念达标检测由易到难，层层递进，螺旋上升，进一步巩固所学知识，达成学习目标，让不同的学生在数学上得到不同的发展，同时也有效的使用了教材.四回顾反思今天这节课我学到的知识有感受到的数学思想方法有我的疑惑是1学生活动：根据学生的课堂反应，若回答不够积极，可以让学生小组交流后再发言2教师巡视在学生回答时，及时肯定、鼓励、引导、校正五拓展延伸ACOBED1提出拓展题：如图，在一次足球比赛中，我校队员小李、小王、小张互相配合向对方球门进攻，当小李带球冲到C点时，小王和小张也分别冲到D点和E点，从纯数学的角度分析，小李应直接射门，还是把球传出去？如果传出去，传给谁好？为什么？2学生活动：思考、小组交流讨论、展示回答3教师巡视，参与小组交流，并适当引导若问题在课堂上没有完全解决，可留待课后完成，这样让学生带着思索走出课堂，更延伸到课外设计理念此题拓展到圆外角与圆内角知识，但又可转化为圆周角来解决同时此题又与引入问题首尾呼应，更能有效激发学生解决问题的兴趣能激发学生的学习兴趣，而且使数学学习延伸到课外六分层作业必作题：教材复习题第3题，第8题选作题：除了足球射门角度问题和曲尺检验凹面，其实生活中还有一些问题可以用圆周角定理及其推论来解释请你通过网络或其他方式，查询与圆周角定理及其推论1有关的实际问题，并做好问题交流的书面作业【教学反思