2019年山东省青岛市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（3分）的相反数是（）ABCD2（3分）下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）ABCD3（3分）2019年1月3日，我国“嫦娥四号”月球探测器在月球背面软着陆，实现人类有史以来首次成功登陆月球背面已知月球与地球之间的平均距离约为384000km，把384000km用科学记数法可以表示为（）A38.4104kmB3.84105kmC0.38410 6kmD3.84106km4（3分）计算（2m）2（mm2+3m3）的结果是（）A8m5B8m5C8m6D4m4+12m55（3分）如图，线段AB经过O的圆心，AC，BD分别与O相切于点C，D若ACBD4，A45，则的长度为（）AB2C2D46（3分）如图，将线段AB先向右平移5个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转90，得到线段AB，则点B的对应点B的坐标是（）A（4，1）B（1，2）C（4，1）D（1，2）7（3分）如图，BD是ABC的角平分线，AEBD，垂足为F若ABC35，C50，则CDE的度数为（）A35B40C45D508（3分）已知反比例函数y的图象如图所示，则二次函数yax22x和一次函数ybx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）ABCD二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9（3分）计算：（）0 10（3分）若关于x的一元二次方程2x2x+m0有两个相等的实数根，则m的值为 11（3分）射击比赛中，某队员10次射击成绩如图所示，则该队员的平均成绩是 环12（3分）如图，五边形ABCDE是O的内接正五边形，AF是O的直径，则BDF的度数是 13（3分）如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF若AD4cm，则CF的长为 cm14（3分）如图，一个正方体由27个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何体若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走 个小立方块三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹15（4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹已知：，直线l及l上两点A，B求作：RtABC，使点C在直线l的上方，且ABC90，BAC四、解答题（本大题共9小题，共74分）16（8分）（1）化简：（2n）；（2）解不等式组，并写出它的正整数解17（6分）小明和小刚一起做游戏，游戏规则如下：将分别标有数字1，2，3，4的4个小球放入一个不透明的袋子中，这些球除数字外都相同从中随机摸出一个球记下数字后放回，再从中随机摸出一个球记下数字若两次数字差的绝对值小于2，则小明获胜，否则小刚获胜这个游戏对两人公平吗？请说明理由18（6分）为了解学生每天的睡眠情况，某初中学校从全校800名学生中随机抽取了40名学生，调查了他们平均每天的睡眠时间（单位：h），统计结果如下：9，8，10.5，7，9，8，10，9.5，8，9，9.5，7.5，9.5，9，8.5，7.5，10，9.5，8，9，7，9.5，8.5，9，7，9，9，7.5，8.5，8.5，9，8，7.5，9.5，10，9.5，8.5，9，8，9在对这些数据整理后，绘制了如下的统计图表：睡眠时间分组统计表睡眠时间分布情况组别睡眠时间分组人数（频数）17t8m28t91139t10n410t114请根据以上信息，解答下列问题：（1）m ，n ，a ，b ；（2）抽取的这40名学生平均每天睡眠时间的中位数落在 组（填组别）；（3）如果按照学校要求，学生平均每天的睡眠时间应不少于9h，请估计该校学生中睡眠时间符合要求的人数19（6分）如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB，栈道AB与景区道路CD平行在C处测得栈道一端A位于北偏西42方向，在D处测得栈道另一端B位于北偏西32方向已知CD120m，BD80m，求木栈道AB的长度（结果保留整数）（参考数据：sin32，cos32，tan32，sin42，cos42，tan42）20（8分）甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天（1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成如果总加工费不超过7800元，那么甲至少加工了多少天？21（8分）如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EGAE，连接CG（1）求证：ABECDF；（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由22（10分）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？23（10分）问题提出：如图，图是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，图是一张ab的方格纸（ab的方格纸指边长分别为a，b的矩形，被分成ab个边长为1的小正方形，其中a2，b2，且a，b为正整数）把图放置在图中，使它恰好盖住图中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论探究一：把图放置在22的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图，对于22的方格纸，要用图盖住其中的三个小正方形，显然有4种不同的放置方法探究二：把图放置在32的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图，在32的方格纸中，共可以找到2个位置不同的 2 2方格，依据探究一的结论可知，把图放置在32的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有248种不同的放置方法探究三：把图放置在a2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图，在a2的方格纸中，共可以找到 个位置不同的22方格，依据探究一的结论可知，把图放置在a2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有 种不同的放置方法探究四：把图放置在a3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图，在a3的方格纸中，共可以找到 个位置不同的22方格，依据探究一的结论可知，把图放置在a3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有 种不同的放置方法问题解决：把图放置在ab的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图）问题拓展：如图，图是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体，图是一个长、宽、高分别为a，b，c（a2，b2，c2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了abc个棱长为1的小立方体在图的不同位置共可以找到 个图这样的几何体24（12分）已知：如图，在四边形ABCD中，ABCD，ACB90，AB10cm，BC8cm，OD垂直平分A C点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动过点P作PEAB，交BC于点E，过点Q作QFAC，分别交AD，OD于点F，G连接OP，EG设运动时间为t（s）（0t5），解答下列问题：（1）当t为何值时，点E在BAC的平分线上？（2）设四边形PEGO的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OEOQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由2019年山东省青岛市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（3分）的相反数是（）ABCD【分析】相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0【解答】解：根据相反数、绝对值的性质可知：的相反数是故选：D【点评】本题考查的是相反数的求法要求掌握相反数定义，并能熟练运用到实际当中2（3分）下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）ABCD【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确故选：D【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合3（3分）2019年1月3日，我国“嫦娥四号”月球探测器在月球背面软着陆，实现人类有史以来首次成功登陆月球背面已知月球与地球之间的平均距离约为384000km，把384000km用科学记数法可以表示为（）A38.4104kmB3.84105kmC0.38410 6kmD3.84106km【分析】利用科学记数法的表示形式即可【解答】解：科学记数法表示：384 0003.84105km故选：B【点评】本题主要考查科学记数法的表示，把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（1a10，n为整数），这种记数法叫做科学记数法4（3分）计算（2m）2（mm2+3m3）的结果是（）A8m5B8m5C8m6D4m4+12m5【分析】根据积的乘方以及合并同类项进行计算即可【解答】解：原式4m22m38m5，故选：A【点评】本题考查了幂的乘方、积的乘方以及合并同类项的法则，掌握运算法则是解题的关键5（3分）如图，线段AB经过O的圆心，AC，BD分别与O相切于点C，D若ACBD4，A45，则的长度为（）AB2C2D4【分析】连接OC、OD，根据切线性质和A45，易证得AOC和BOD是等腰直角三角形，进而求得OCOD4，COD90，根据弧长公式求得即可【解答】解：连接OC、OD，AC，BD分别与O相切于点C，DOCAC，ODBD，A45，AOC45，ACOC4，ACBD4，OCOD4，ODBD，BOD45，COD180454590，的长度为：2，故选：B【点评】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，弧长的计算等，证得COD90是解题的关键6（3分）如图，将线段AB先向右平移5个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转90，得到线段AB，则点B的对应点B的坐标是（）A（4，1）B（1，2）C（4，1）D（1，2）【分析】在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度；图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标常见的是旋转特殊角度如：30，45，60，90，180【解答】解：将线段AB先向右平移5个单位，点B（2，1），连接OB，顺时针旋转90，则B对应坐标为（1，2），故选：D【点评】本题考查了图形的平移与旋转，熟练运用平移与旋转的性质是解题的关键7（3分）如图，BD是ABC的角平分线，AEBD，垂足为F若ABC35，C50，则CDE的度数为（）A35B40C45D50【分析】根据角平分线的定义和垂直的定义得到ABDEBD，AFBEFB，根据全等三角形的性质得到AFEF，ABBE，求得ADDE，根据三角形的内角和得到BAC180ABCC95，根据全等三角形的性质得到BEDBAD95，根据四边形的内角和平角的定义即可得到结论【解答】解：BD是ABC的角平分线，AEBD，ABDEBD，AFBEFB，BFBF，ABFEBF（ASA），AFEF，ABBE，ADDE，ABC35，C50，BAC180ABCC95，在DAB与DEB中，ABDEAD（SSS），BEDBAD95，ADE360959535145，CDE180ADE35，故选：A【点评】本题考查了三角形的内角和，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键8（3分）已知反比例函数y的图象如图所示，则二次函数yax22x和一次函数ybx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）ABCD【分析】先根据抛物线yax22过原点排除A，再反比例函数图象确定ab的符号，再由a、b的符号和抛物线对称轴确定抛物线与直线ybx+a的位置关系，进而得解【解答】解：当x0时，yax22x0，即抛物线yax22x经过原点，故A错误；反比例函数y的图象在第一、三象限，ab0，即a、b同号，当a0时，抛物线yax22x的对称轴x0，对称轴在y轴左边，故D错误；当a0时，b0，直线ybx+a经过第一、二、三象限，故B错误，C正确故选：C【点评】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9（3分）计算：（）02+1【分析】根据二次根式混合运算的法则计算即可【解答】解：（）02+212+1，故答案为：2+1【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟记法则是解题的关键10（3分）若关于x的一元二次方程2x2x+m0有两个相等的实数根，则m的值为【分析】根据“关于x的一元二次方程2x2x+m0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于m的一元一次方程，解之即可【解答】解：根据题意得：142m0，整理得：18m0，解得：m，故答案为：【点评】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键11（3分）射击比赛中，某队员10次射击成绩如图所示，则该队员的平均成绩是8.5环【分析】由加权平均数公式即可得出结果【解答】解：该队员的平均成绩为（16+17+28+49+210）8.5（环）；故答案为：8.5【点评】本题考查了加权平均数和条形统计图；熟练掌握加权平均数的计算公式是解决问题的关键12（3分）如图，五边形ABCDE是O的内接正五边形，AF是O的直径，则BDF的度数是54【分析】连接AD，根据圆周角定理得到ADF90，根据五边形的内角和得到ABCC108，求得ABD72，由圆周角定理得到FABD72，求得FAD18，于是得到结论【解答】解：连接AD，AF是O的直径，ADF90，五边形ABCDE是O的内接正五边形，ABCC108，ABD72，FABD72，FAD18，CDFDAF18，BDF36+1854，故答案为：54【点评】本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型13（3分）如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF若AD4cm，则CF的长为6cm【分析】设BFx，则FGx，CF4x，在RtGEF中，利用勾股定理可得EF2（4）2+x2，在RtFCE中，利用勾股定理可得EF2（4x）2+22，从而得到关于x方程，求解x，最后用4x即可【解答】解：设BFx，则FGx，CF4x在RtADE中，利用勾股定理可得AE根据折叠的性质可知AGAB4，所以GE4在RtGEF中，利用勾股定理可得EF2（4）2+x2，在RtFCE中，利用勾股定理可得EF2（4x）2+22，所以（4）2+x2（4x）2+22，解得x2则FC4x6故答案为6【点评】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理折叠问题主要是抓住折叠的不变量，在直角三角形中利用勾股定理求解是解题的关键14（3分）如图，一个正方体由27个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何体若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走4个小立方块【分析】根据新几何体的三视图与原来的几何体的三视图相同解答即可【解答】解：若新几何体与原正方体的表面积相等，则新几何体的三视图与原来的几何体的三视图相同，所以最多可以取走4个小立方块故答案为：4【点评】本题主要考查了几何体的表面积，理解三视图是解答本题的关键用到的知识点为：主视图，左视图与俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹15（4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹已知：，直线l及l上两点A，B求作：RtABC，使点C在直线l的上方，且ABC90，BAC【分析】先作DAB，再过B点作BEAB，则AD与BE的交点为C点【解答】解：如图，ABC为所作【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作四、解答题（本大题共9小题，共74分）16（8分）（1）化简：（2n）；（2）解不等式组，并写出它的正整数解【分析】（1）按分式的运算顺序和运算法则计算求值；（2）先确定不等式组的解集，再求出满足条件的正整数解【解答】解：（1）原式；（2）由，得x1，由，得x3所以该不等式组的解集为：1x3所以满足条件的正整数解为：1、2【点评】本题考查了分式的混合运算、不等式组的正整数解等知识点解决（1）的关键是掌握分式的运算法则，解决（2）的关键是确定不等式组的解集17（6分）小明和小刚一起做游戏，游戏规则如下：将分别标有数字1，2，3，4的4个小球放入一个不透明的袋子中，这些球除数字外都相同从中随机摸出一个球记下数字后放回，再从中随机摸出一个球记下数字若两次数字差的绝对值小于2，则小明获胜，否则小刚获胜这个游戏对两人公平吗？请说明理由【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两次数字差的绝对值小于2的情况数，分别求出两人获胜的概率，比较即可得到游戏公平与否【解答】解：这个游戏对双方不公平理由：列表如下：12341（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）所有等可能的情况有16种，其中两次数字差的绝对值小于2的情况有（1，1），（2，1），（1，2），（2，2），（3，2），（2，3），（3，3），（4，3），（3，4），（4，4）共10种，故小明获胜的概率为：，则小刚获胜的概率为：，这个游戏对两人不公平【点评】此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平18（6分）为了解学生每天的睡眠情况，某初中学校从全校800名学生中随机抽取了40名学生，调查了他们平均每天的睡眠时间（单位：h），统计结果如下：9，8，10.5，7，9，8，10，9.5，8，9，9.5，7.5，9.5，9，8.5，7.5，10，9.5，8，9，7，9.5，8.5，9，7，9，9，7.5，8.5，8.5，9，8，7.5，9.5，10，9.5，8.5，9，8，9在对这些数据整理后，绘制了如下的统计图表：睡眠时间分组统计表睡眠时间分布情况组别睡眠时间分组人数（频数）17t8m28t91139t10n410t114请根据以上信息，解答下列问题：（1）m7，n1，a17.5%，b45%；（2）抽取的这40名学生平均每天睡眠时间的中位数落在3组（填组别）；（3）如果按照学校要求，学生平均每天的睡眠时间应不少于9h，请估计该校学生中睡眠时间符合要求的人数【分析】（1）根据40名学生平均每天的睡眠时间即可得出结果；（2）由中位数的定义即可得出结论；（3）由学校总人数该校学生中睡眠时间符合要求的人数所占的比例，即可得出结果【解答】解：（1）7t8时，频数为m7；9t10时，频数为n18；a100%17.5%；b100%45%；故答案为：7，18，17.5%，45%；（2）由统计表可知，抽取的这40名学生平均每天睡眠时间的中位数为第20个和第21个数据的平均数，落在第3组；故答案为：3；（3）该校学生中睡眠时间符合要求的人数为800440（人）；答：估计该校学生中睡眠时间符合要求的人数为440人【点评】本题考查了统计图的有关知识，解题的关键是仔细地审题，从图中找到进一步解题的信息19（6分）如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB，栈道AB与景区道路CD平行在C处测得栈道一端A位于北偏西42方向，在D处测得栈道另一端B位于北偏西32方向已知CD120m，BD80m，求木栈道AB的长度（结果保留整数）（参考数据：sin32，cos32，tan32，sin42，cos42，tan42）【分析】过C作CEAB于E，DFAB交AB的延长线于F，于是得到CEDF，推出四边形CDFE是矩形，得到EFCD120，DFCE，解直角三角形即可得到结论【解答】解：过C作CEAB于E，DFAB交AB的延长线于F，则CEDF，ABCD，四边形CDFE是矩形，EFCD120，DFCE，在RtBDF中，BDF32，BD80，DFcos32BD8068，BFsin32BD80，BEEFBF，在RtACE中，ACE42，CEDF68，AECEtan4268，ABAE+BE+134m，答：木栈道AB的长度约为134m【点评】本题考查解直角三角形方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型20（8分）甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天（1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成如果总加工费不超过7800元，那么甲至少加工了多少天？【分析】（1）设乙每天加工x个零件，则甲每天加工1.5x个零件，根据甲比乙少用5天，列分式方程求解；（2）设甲加工了x天，乙加工了y天，根据3000个零件，列方程；根据总加工费不超过7800元，列不等式，方程和不等式综合考虑求解即可【解答】解：（1）设乙每天加工x个零件，则甲每天加工1.5x个零件，由题意得：+5化简得6001.5600+51.5x解得x401.5x60经检验，x40是分式方程的解且符合实际意义答：甲每天加工60个零件，乙每天加工，40个零件（2）设甲加工了x天，乙加工了y天，则由题意得由得y751.5x将代入得150x+120（751.5x）7800解得x40，当x40时，y15，符合问题的实际意义答：甲至少加工了40天【点评】本题是分式方程与不等式的实际应用题，题目数量关系清晰，难度不大21（8分）如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EGAE，连接CG（1）求证：ABECDF；（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由【分析】（1）由平行四边形的性质得出ABCD，ABCD，OBOD，OAOC，由平行线的性质得出ABECDF，证出BEDF，由SAS证明ABECDF即可；（2）证出ABOA，由等腰三角形的性质得出AGOB，OEG90，同理：CFOD，得出EGCF，由三角形中位线定理得出OECG，EFCG，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD，OBOD，OAOC，ABECDF，点E，F分别为OB，OD的中点，BEOB，DFOD，BEDF，在ABE和CDF中，ABECDF（SAS）；（2）解：当AC2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：AC2OA，AC2AB，ABOA，E是OB的中点，AGOB，OEG90，同理：CFOD，AGCF，EGCF，EGAE，OAOC，OE是ACG的中位线，OECG，EFCG，四边形EGCF是平行四边形，OEG90，四边形EGCF是矩形【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型22（10分）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？【分析】（1）将点（30，150）、（80，100）代入一次函数表达式，即可求解；（2）由题意得w（x30）（2x+160）2（x55）2+1250，即可求解；（3）由题意得（x30）（2x+160）800，解不等式即可得到结论【解答】解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：ykx+b，将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y2x+160；（2）由题意得：w（x30）（2x+160）2（x55）2+1250，20，故当x55时，w随x的增大而增大，而30x50，当x50时，w由最大值，此时，w1200，故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；（3）由题意得：（x30）（2x+160）800，解得：x70，每天的销售量y2x+16020，每天的销售量最少应为20件【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次不等式的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量每件的利润w得出函数关系式是解题关键23（10分）问题提出：如图，图是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，图是一张ab的方格纸（ab的方格纸指边长分别为a，b的矩形，被分成ab个边长为1的小正方形，其中a2，b2，且a，b为正整数）把图放置在图中，使它恰好盖住图中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论探究一：把图放置在22的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图，对于22的方格纸，要用图盖住其中的三个小正方形，显然有4种不同的放置方法探究二：把图放置在32的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图，在32的方格纸中，共可以找到2个位置不同的 2 2方格，依据探究一的结论可知，把图放置在32的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有248种不同的放置方法探究三：把图放置在a2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图，在a2的方格纸中，共可以找到（a1）个位置不同的22方格，依据探究一的结论可知，把图放置在a2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有（4a4）种不同的放置方法探究四：把图放置在a3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图，在a3的方格纸中，共可以找到（2a2）个位置不同的22方格，依据探究一的结论可知，把图放置在a3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有（8a8）种不同的放置方法问题解决：把图放置在ab的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图）问题拓展：如图，图是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体，图是一个长、宽、高分别为a，b，c（a2，b2，c2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了abc个棱长为1的小立方体在图的不同位置共可以找到8（a1）（b1）（c1）个图这样的几何体【分析】对于图形的变化类的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题【解答】解：探究三：根据探究二，a2的方格纸中，共可以找到（a1）个位置不同的 22方格，根据探究一结论可知，每个22方格中有4种放置方法，所以在a2的方格纸中，共可以找到（a1）4（4a4）种不同的放置方法；故答案为a1，4a4；探究四：与探究三相比，本题矩形的宽改变了，可以沿用上一问的思路：边长为a，有（a1）条边长为2的线段，同理，边长为3，则有312条边长为2的线段，所以在a3的方格中，可以找到2（a1）（2a2）个位置不同的22方格，根据探究一，在在a3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有（2a2）4（8a8）种不同的放置方法故答案为2a2，8a8；问题解决：在ab的方格纸中，共可以找到（a1）（b1）个位置不同的22方格，依照探究一的结论可知，把图放置在ab的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有4（a1）（b1）种不同的放置方法；问题拓展：发现图示是棱长为2的正方体中的一部分，利用前面的思路，这个长方体的长宽高分别为a、b、c，则分别可以找到（a1）、（b1）、（c1）条边长为2的线段，所以在abc的长方体共可以找到（a1）（b1）（c1）位置不同的222的正方体，再根据探究一类比发现，每个222的正方体有8种放置方法，所以在abc的长方体中共可以找到8（a1）（b1）（c1）个图这样的几何体；故答案为8（a1）（b1）（c1）【点评】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键24（12分）已知：如图，在四边形ABCD中，A