山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社义务教育教科书（五四学制）数学八年级下册山东出版传媒股份有限公司山东教育出版社出版（济南市纬一路321号）山东新华书店集团有限公司发行山东临沂新华印刷物流集团有限责任公司印装开本：787毫米1092毫米116印张：9.5字数：190千定价：8.93元（上光）书号：ISBN978-7-5328-8579-42015年1月第1版2020年1月第6次印刷著作权所有请勿擅用本书制作各类出版物违者必究山东出版传媒股份有限公司教材售后服务电话：（0531）82098188YIWUJIAOYUJIAOKESHU（WUSIXUEZHI）SHUXUEBANIANJIXIACE山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社亲爱的同学：祝贺你跨入了新学期，并在数学世界里不断成长！在此之前，你已经认识了有理数及其扩充实数，体会到方程（组）和一次函数模型的作用，多角度分析了数据所蕴含的信息，知道了直角坐标系中的简单轴对称与坐标之间的关系，研究了为什么要证明、怎样证明一个命题是正确的在学习过程中，你不仅学到了丰富的数学知识，而且积累了观察、归纳、类比、猜想、证明等许多数学活动的经验，这将有助于你进一步发现和提出数学问题、分析和解决数学问题。在本册教科书中，你将要学习一些新内容。特殊的平行四边形菱形、矩形、正方形的基本性质有哪些？采用什么方法发现并证明这些性质？从中你能获得什么？通过第六章的学习，相信你会找到答案。一个正方形的面积为S，它的边长如何表示？你将在“二次根式”中认识它。你已经学习过一次方程（组）与分式方程，一元二次方程是一个新的数学模型，它所表示的数量关系更为复杂，当然也能更好地体现数学的重要价值。生活中我们常常可以见到“相似”的图形。“相似”是图形之间的一种特殊关系，与全等不一样，但又有着关联。数学里“相似”意味着什么？我们怎样从数学的角度去研究相似现象？在第九章中你会探个究竟。你在以前的数学学习过程中可能已经体会到，有效的学习方法对于学好数学有很大的作用。继续尝试下面的方法吧：先自己想一想、做一做，再与同伴议一议，然后读一读教科书，听一听老师的讲解，再试一试解几个问题。让我们一起走进数学新天地！山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社MULU目录第六章特殊平行四边形1菱形的性质与判定2矩形的性质与判定3正方形的性质与判定回顾与思考复习题第七章二次根式1二次根式2二次根式的性质3二次根式的加减4二次根式的乘除回顾与思考复习题212212727323439424747山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社5055616870738080第八章一元二次方程1一元二次方程2用配方法解一元二次方程3用公式法解一元二次方程4用因式分解法解一元二次方程5一元二次方程的根与系数的关系6一元二次方程的应用回顾与思考复习题第九章图形的相似1成比例线段2平行线分线段成比例3相似多边形4探索三角形相似的条件5相似三角形判定定理的证明6黄金分割7利用相似三角形测高8相似三角形的性质9利用位似放缩图形回顾与思考复习题84909598106110113117123128129综合与实践制作视力表综合与实践直觉的误导总复习题附：标准对数视力表中的“E”形图134137141145山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社1菱形的性质与判定1将平行四边形的边或角进行适当变化，就会得到一些特殊的平行四边形：菱形、矩形、正方形.你知道它们有哪些特殊的性质吗？你对此有兴趣进行探究吗？你能证明这些特殊平行四边形的相关性质吗？本章将对菱形、矩形、正方形进行更深入的认识，进一步丰富认识图形的经验.学习目标进一步获得对图形的性质进行探索、猜测和证明的经验获得对菱形、矩形、正方形的基本认识能够掌握综合法的证明方法能证明菱形、矩形、正方形的性质定理和判定定理体会菱形、矩形、正方形与平行四边形的关系进一步理解一般与特殊的关系第六章特殊平行四边形山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社2第六章特殊平行四边形1菱形的性质与判定观察下面几幅图片，我们不难发现其中包含一些平行四边形，但这些平行四边形又有哪些共同的特征呢？一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（rhombus）.想一想（1）菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一些这样的性质吗？（2）你认为菱形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流.做一做用菱形纸片折一折，回答下列问题：（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？（2）菱形中有哪些相等的线段？通过上面的折纸活动，我们可以发现：菱形的四条边相等，对角线互相垂直.下面我们证明这些结论.菱形是轴对称图形山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社1菱形的性质与判定3图6-1DACOB例1如图6-2，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BAD=60，BD=2，求AB和AC的长.解：四边形ABCD是菱形，AB=AD（菱形的四条边都相等），ACBD（菱形的对角线互相垂直），OB=OD=12BD=122=1（菱形的对角线互相平分）.在等腰三角形ABD中，BAD=60，ABD是等边三角形.AB=BD=2.已知：如图6-1，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.求证：（1）AB=BC=CD=AD；（2）ACBD.证明：（1）四边形ABCD是菱形，AB=CD，AD=BC（菱形的对边相等）.又AB=AD，AB=BC=CD=AD.（2）AB=AD，ABD是等腰三角形.又四边形ABCD是菱形，OB=OD（菱形的对角线互相平分）.在等腰三角形ABD中，OB=OD，AOBD，即ACBD.图6-2DACOB定理菱形的四条边都相等.定理菱形的对角线互相垂直.山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社4第六章特殊平行四边形在RtAOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2，OA=AB2-OB2=22-12=3.AC=2OA=23.1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.已知AB=5cm，AO=4cm，求BD的长.2.菱形的两组对边的距离相等吗？为什么？ODBAC（第1题）习题6.1知识技能1.已知：如图，在菱形ABCD中，BAD=2B.求证：ABC是等边三角形.2.如图，在菱形ABCD中，BD=6，AC=8，求菱形ABCD的周长.（第1题）CADBBCADOCADBO（第2题）（第3题）4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，图中有多少个等腰三角形和直角三角形？数学理解（第4题）ACDBO随堂练习3.已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.求证：AC平分BAD和BCD，BD平分ABC和ADC.山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社1菱形的性质与判定5根据菱形的定义，邻边相等的平行四边形是菱形.除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形？先想一想，再与同伴交流.平行四边形的不少性质定理与判定定理都是互逆命题.受此启发，我猜想：四边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形.我觉得，对角线互相垂直的平行四边形有可能是菱形.但“四边相等的平行四边形是菱形”嘛实际上与“邻边相等的平行四边形是菱形”一样.你是怎么想的？你认为小明的想法如何？已知：如图6-3，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，ACBD.求证：ABCD是菱形.证明：四边形ABCD是平行四边形，OA=OC.又ACBD，BD所在的直线是线段AC的垂直平分线BA=BC.四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.ACDBO图6-3定理对角线互相垂直的平行四边形是菱形.已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？议一议山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社6第六章特殊平行四边形如图6-4，分别以A，C为圆心，以大于12AC的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D，四边形ABCD是菱形.你是怎么做的？你认为小刚的做法正确吗？与同伴交流.定理四条边都相等的四边形是菱形.请你完成这个定理的证明.做一做你能用折纸等办法得到一个菱形吗？动手试一试！先将一张长方形的纸对折，再对折，然后沿图中的虚线剪下一个角并展开，就得到了一个菱形.你能说说小颖这样做的道理吗？如果给你一张不规则的纸，你也能通过折纸等办法得到一个菱形吗？例2已知：如图6-5，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=5，OA=2，OB=1.求证：ABCD是菱形.证明：在AOB中，AB=5，OA=2，OB=1，图6-4DBAC山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社1菱形的性质与判定7图6-5DBACO随堂练习1.画一个菱形，使它的两条对角线长分别为4cm，6cm.2.证明：一条对角线平分一内角的平行四边形是菱形.习题6.2知识技能1.已知：如图，在ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E，O，F求证：四边形AFCE是菱形.BFCAEDODCABHGEFO（第1题）（第2题）AB2=AO2+OB2.AOB是直角三角形，AOB是直角ACBD.ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.BCACED（第3题）数学理解3.如图，在四边形纸片ABCD中，ADBC，ADCD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C处，折痕DE交BC于点E，连接CE.你能确定四边形CDCE的形状吗？证明你的结论.2.已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点求证：四边形EFGH是菱形.山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社8第六章特殊平行四边形例3如图6-6，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm.求：（1）对角线AC的长度；（2）菱形ABCD的面积.解：（1）四边形ABCD是菱形，AC与BD相交于点E，AED=90（菱形的对角线互相垂直），DE=12BD=1210=5（cm）（菱形的对角线互相平分）.AE=AD2-DE2=132-52=12（cm）.AC=2AE=212=24（cm）（菱形的对角线互相平分）.（2）菱形ABCD的面积=ABD的面积+CBD的面积=2ABD的面积=212BDAE=2121012=120（cm2）.图6-6CDBEA做一做如图6-7，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？为什么？图6-7ABCD山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社1菱形的性质与判定91.菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线长10cm.（1）求菱形的每一个内角的度数；（2）求菱形另一条对角线的长.2.已知：如图，在RtABC中，ACB=90，BAC=60，BC的垂直平分线分别交BC和AB于点D，E，点F在DE的延长线上，且AF=CE.求证：四边形ACEF是菱形.随堂练习BDCAEF（第2题）筝形一条对角线所在直线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形.筝形可以分为两类：凸筝形和凹筝形.每个内角都小于平角的筝形叫做凸筝形（如图6-8（1）；有一个内角大于平角的筝形叫做凹筝形（如图6-8（2）.读一读ACDBDACB（1）（2）图6-8筝形有如下性质：（1）筝形有两组邻边分别相等；（2）筝形有一组对角相等；（3）筝形是轴对称图形.菱形是特殊的凸筝形.山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社10第六章特殊平行四边形一位英国数学家发现了一对特殊的筝形，他把它们称作“标枪”和“风筝”（如图6-9）.“国王”“王后”“星星”“太阳”图6-11图6-12（1）（2）在图6-12（2）中，你能看到“国王”“王后”“星星”和“太阳”的图案吗？“标枪”和“风筝”的边长满足下面的关系：AB=AD=GF=GH，CB=CD=EF=EH.“标枪”和“风筝”不仅可以拼凑成菱形（如图6-10），而且还可以拼凑成许多有趣的图案（如图6-11）.用这两种图形，可以镶嵌整个平面（如图6-12）.图6-10图6-9ACDB367236HEFG727272“标枪”“风筝”山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社1菱形的性质与判定11习题6.3知识技能1.已知：如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，且BE=BF.求证：（1）ADECDF；（2）DEF=DFE.DCAEBF（第1题）2.证明：菱形的面积等于其对角线乘积的一半.3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=16，BD=12，求菱形ABCD的高DH.CDABHOAEBDFCGH（第3题）（第4题）4.已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，点E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点求证：四边形EGFH是菱形.数学理解5.请用一张如图所示的三角形纸片ABC折出一个菱形，使A为菱形的一个内角，且菱形的一个顶点在BC边上.ABC（第5题）山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社12第六章特殊平行四边形2矩形的性质与判定想一想观察下面的图片，我们能够发现其中包含了一些特殊的平行四边形，这些特殊的平行四边形有哪些共同的特征呢？有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（rectangle）矩形是生活中常见的图形，你还能举出一些生活中矩形的例子吗？与同伴交流.（1）矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质你能列举一些这样的性质吗？（2）你认为矩形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流通过观察，可以发现矩形的四个角都是直角，对角线相等.下面我们证明这些结论.已知：如图6-13，四边形ABCD是矩形，ABC=90，对角线AC与DB相交于点O.求证：（1）ABC=BCD=CDA=DAB=90；（2）AC=DB山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社2矩形的性质与判定13证明：（1）四边形ABCD是矩形，ABDC（矩形的对边平行），ABC=CDA，BCD=DAB（矩形的对角相等）.ABC+BCD=180.又ABC=90，BCD=90.ABC=BCD=CDA=DAB=90.（2）四边形ABCD是矩形，AB=DC（矩形的对边相等）.在ABC和DCB中，AB=DC，ABC=DCB，BC=CB，ABCDCB.AC=DB.OADBC图6-13议一议EADBC图6-14如图6-14，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，那么BE是RtABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？由此你能得到怎样的结论？定理矩形的四个角都是直角.定理矩形的对角线相等.矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？想一想矩形是轴对称图形.山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社14第六章特殊平行四边形例1如图6-15，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，AOD=120，AB=2.5，求矩形对角线的长.解：四边形ABCD是矩形，AC=BD（矩形的对角线相等），OA=OC=12AC，OB=OD=12BD（矩形的对角线互相平分）.OA=OD.AOD=120，ODA=OAD=12（180-120）=30.又DAB=90（矩形的四个角都是直角），BD=2AB=22.5=5.OADBC图6-15你还有其他解法吗？随堂练习1.如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB=6，OA=5.求BD与AD的长.2.一个矩形的两条对角线的一个夹角为60，对角线长为15，求矩形较短边的长.习题6.4知识技能1.一个矩形的对角线长为2，对角线与一边的夹角是45，求矩形的各边长.定理直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.你能证明这个定理吗？ADBCO（第1题）山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社2矩形的性质与判定153.证明：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.4.已知：如图，在四边形ABCD中，ABC=ADC=90，E，F分别是AC，BD的中点.求证：EFBD.ADEBC（第2题）数学理解如图6-16，在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化.做一做（1）随着的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？（2）当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？定理对角线相等的平行四边形是矩形.2.如图，在RtABC中，ACB=90，D为AB的中点，AECD，CEAB，试判断四边形ADCE的形状，并证明你的结论.图6-16已知：如图6-17，在ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC=DB.求证：ABCD是矩形.DCEFBA（第4题）山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社16第六章特殊平行四边形想一想我们知道，矩形的四个角都是直角反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？能证明你的结论吗？与同伴交流.你有什么方法检查你家（或教室）刚安装的门框是不是矩形？如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？请说明检查方法的合理性，并与同伴交流.例2如图6-18，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，ABO是等边三角形，AB=1，求ABCD的面积.解：四边形ABCD是平行四边形，OA=OC，OB=OD.又ABO是等边三角形，OA=OB=AB=1，BAC=60.OA=OB=OC=OD=1.AC=BD=2AB=21=2.议一议图6-18ADBCO定理有三个角是直角的四边形是矩形.证明：四边形ABCD是平行四边形，AB=DC，ABDC.又BC=CB，AC=DB，ABCDCB.ABC=DCB.ABDC，ABC+DCB=180.ABC=DCB=90.ABCD是矩形（矩形的定义）.图6-17ADBC山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社2矩形的性质与判定171.已知：如图，在ABCD中，M是AD边的中点，且MB=MC.求证：四边形ABCD是矩形.随堂练习（第1题）ADBCM2.已知：如图，直线l与平行线m，n分别相交于点A，B，两组同旁内角的平分线分别相交于点E，F.求证：四边形AEBF是矩形.mnABFEl（第2题）习题6.5知识技能1.如图，在ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE.（1）试判断四边形ABEC的形状；（2）当ABC满足什么条件时，四边形ABEC是矩形？DAEBC（第1题）ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.ABC=90（矩形的四个角都是直角）.在RtABC中，由勾股定理，得AB2+BC2=AC2，BC=AC2-AB2=22-12=3.SABCD=ABBC=13=3.山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社18第六章特殊平行四边形例3如图6-19，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AEBD，垂足为点E，ED=3BE.求AE的长.解：四边形ABCD是矩形，AO=BO=DO=12BD（矩形的对角线相等且互相平分），BAD=90（矩形的四个角都是直角）.ED=3BE，BE=OE.又AEBD，AB=AO.AB=AO=BO，即ABO是等边三角形.ABO=60.ADB=90-ABO=30.在RtAED中，ADE=30，AE=12AD=126=3.图6-19ADBCOE2.如图，点B在直线MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交ABM的平分线和ABN的平分线于点C，D，连接AC，AD试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论.CDAOMNB（第2题）问题解决3.如图，已知菱形ABCD，作一个矩形，使得A，B，C，D四个点分别在矩形的四条边上，且矩形的面积为菱形ABCD面积的2倍.DBAC（第3题）山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社2矩形的性质与判定19例4已知：如图6-20，在ABC中，AB=AC，AD为BAC的平分线，AN为ABC的外角CAM的平分线，CEAN，垂足为点E.求证：四边形ADCE是矩形.证明：AD平分BAC，AN平分CAM，CAD=12BAC，CAN=12CAMDAE=CAD+CAN=12（BAC+CAM）=12180=90.在ABC中，AB=AC，AD为BAC的平分线，ADBC.ADC=90.又CEAN，CEA=90.四边形ADCE是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）.AENMBCD图6-20想一想在例4中，连接DE，交AC于点F（如图6-21）（1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论.（2）线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论.随堂练习1.已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的等边三角形ABD和CBD组成的，M，N分别是BC和AD的中点.图6-21AENMBCDF山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社20第六章特殊平行四边形习题6.6知识技能1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为点E.已知EAD=3BAE，求EAO的度数ADBCOE（第1题）ABEDC（第2题）2.已知：如图，在ABC中，AB=AC，D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形.求证：四边形ADCE是矩形.问题解决3.如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6cm，BC=8cm，将矩形纸片折叠，使点C与点A重合，请在图中画出折痕，并求折痕的长.（第3题）ADBCCDNABM（第1题）ADBCO（第2题）求证：四边形BMDN是矩形.2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，ACB=30，BD=4，求矩形ABCD的面积.山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社3正方形的性质与判定214.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为点E，F.求PE+PF的值.（第4题）ADBCOEFP联系拓广3正方形的性质与判定图6-22中的四边形都是矩形，但有些矩形比较特殊，你能说出这些特殊矩形的特征吗？有一组邻边相等的矩形叫做正方形（square）.（1）正方形是菱形吗？（2）你认为正方形具有哪些性质？与同伴交流正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形的所有性质.议一议121333322图6-222山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社22第六章特殊平行四边形正方形有几条对称轴？例1如图6-23，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.解：BE=DF，且BEDF.理由如下：（1）四边形ABCD是正方形，BC=DC，BCE=90（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）.DCF=180-BCE=180-90=90.BCE=DCF.又CE=CF，BCEDCF.BE=DF.（2）延长BE交DF于点M（如图6-24）.BCEDCF，CBE=CDF.DCF=90，CDF+F=90.CBE+F=90.BMF=90.BEDF.CEBFAD图6-23议一议平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？与同伴交流.图6-24CEBFADM定理正方形的四个角都是直角，四条边都相等.定理正方形的对角线相等且互相垂直平分.想一想山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社3正方形的性质与判定23随堂练习1.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，图中有多少个等腰三角形？BCADODCABF（第1题）（第2题）习题6.7知识技能1.对角线长为2cm的正方形，边长是多少？2.如图，四边形ABCD是正方形，CBE是等边三角形，求AEB的度数.CBDAE（第2题）3.如图，A，B，C，D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上.仓库P和Q分别位于AD和DC上，且PD=QC.证明两条直路BP=AQ且BPAQ.数学理解4.在一个正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度）.你有几种方法？（至少说出三种）问题解决（第3题）ADPQBC2.如图，在正方形ABCD中，点F为对角线AC上一点，连接BF，DF.你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明.山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社24第六章特殊平行四边形定理对角线相等的菱形是正方形.定理对角线垂直的矩形是正方形.定理有一个角是直角的菱形是正方形.例2已知：如图6-26，在矩形ABCD中，BE平分ABC，CE平分DCB，BFCE，CFBE.求证：四边形BECF是正方形.证明：BFCE，CFBE，四边形BECF是平行四边形.四边形ABCD是矩形，ABC=90，DCB=90.又BE平分ABC，CE平分DCB，EBC=12ABC=45，ECB=12DCB=45.EBC=ECB.EB=EC.BECF是菱形（菱形的定义）.在EBC中，EBC=45，ECB=45，BEC=90.菱形BECF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）.BCADEF图6-26如图6-25，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角并展开.怎样剪才能剪出一个正方形？议一议满足什么条件的矩形是正方形呢？满足什么条件的菱形是正方形呢？说说你的理由，并与同伴交流.图6-25山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社3正方形的性质与判定25读一读做一做依次连接任意四边形各边的中点可以得到一个平行四边形，那么，依次连接正方形各边的中点（如图6-27）能得到一个怎样的图形呢？先猜一猜，再证明.图6-27ABDCA1C1D1B1议一议（1）依次连接菱形或矩形各边的中点能得到一个什么图形？先猜一猜，再证明.（2）依次连接平行四边形各边的中点呢？依次连接四边形各边的中点所得到的新四边形的形状与哪些线段有关系？有怎样的关系？证明：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线垂直的矩形是正方形随堂练习四边形的对称性我们知道，一般的四边形既不一定是轴对称图形，也不一定是中心对称图形；平行四边形都是中心对称图形，却不一定是轴对称图形；等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形；筝形是轴对称图形，但不一定是中心对称图形；所有的菱形和矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，而且它们至少都有两条对称轴.（如图6-28所示）请你想一想、画一画，什么情况下菱形和矩形只有两条对称轴？什么情况下它们有两条以上的对称轴？山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社26第六章特殊平行四边形通过想象或实际画图，可以发现，当菱形有一个角为直角时，它的对称轴的数量就增加了；当矩形有一组邻边相等时，它的对称轴的数量也增加了.换句话说，当菱形或矩形成为正方形时，它的对称轴就不止两条了.由此我们看到，当图形从一般情况向特殊情况变化时，它的对称性也可能随之发生了变化.习题6.8知识技能1.证明：对角线相等的菱形是正方形.2.已知：如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE=DF.求证：四边形AECF是菱形.FEDCAB（第2题）BCEFADGH（第3题）3.如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别在它的四条边上，且AE=BF=CG=DH.四边形EFGH是什么特殊四边形？你是如何判断的？数学理解图6-28此外，我们还知道，如果把一个图形绕着某一点旋转一定角度（小于360）后，能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形.请你想一想、试一试，平行四边形是旋转对称图形吗？菱形呢？矩形呢？正方形呢？山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社复习题27联系拓广4.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形ABCO与正方形ABCD的边长相等.在正方形ABCO绕点O旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积与正方形ABCD的面积有什么关系？请证明你的结论.5.对角线互相垂直且相等的四边形一定是正方形吗？为什么？ADBCCABO（第4题）回顾与思考1.说说平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系，它们各有哪些性质？2.在菱形、矩形、正方形中，哪些图形是轴对称图形？哪些图形是中心对称图形？3.分别说说判定一个四边形是菱形、矩形、正方形的条件.4.用适当的方式梳理本章的知识，并与同伴进行交流.1.一个菱形的两条对角线的长分别为4cm和2cm，求它的边长.2.如图，若四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且OA=OB=OC=OD=22AB，则四边形ABCD是正方形吗？3.如果一个四边形是轴对称图形，而且有两条互相垂直的对称轴，那么这个四边形一定是菱形吗？为什么？知识技能复习题ADBCO（第2题）山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社28第六章特殊平行四边形CBADE（第6题）4.一个菱形的周长是200cm，一条对角线长60cm，求：（1）另一条对角线的长度；（2）菱形的面积.5.证明：如果四边形两条对角线垂直且相等，那么依次连接它的四边中点得到一个正方形.6.如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上一点，且AC=EC，求DAE的度数.7.（1）如果一个菱形绕对角线的交点旋转90后，所得图形与原来的图形重合，那么这个菱形是正方形吗？为什么？（2）如果一个四边形绕对角线的交点旋转90后，所得图形与原来的图形重合，那么这个四边形是正方形吗？为什么？8.已知：如图，AD是ABC的角平分线，过点D分别作AC和AB的平行线，交AB于点E，交AC于点F.求证：四边形AEDF是菱形.9.已知：ABC的两条高分别为BE，CF，点M为BC的中点.求证：ME=MF.10.已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两线相交于点P.求证：四边形CODP是菱形.AEFBCD（第8题）ABDCOPADBCONQMP（第10题）（第11题）11.已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点M，P，N，Q分别在AO，BO，CO，DO上，且AM=BP=CN=DQ.求证：四边形MPNQ是矩形.12.已知：如图，在RtABC中，ACB=90，CD是ABC的角平分线，DEBC，DFAC，垂足分别为点E，F.求证：四边形CEDF是正方形.山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社复习题29CBEFDAADCBQP（第12题）（第13题）13.如图，在矩形ABCD中，AB=20cm.动点P从点A开始沿AB边以4cms的速度运动，动点Q从点C开始沿CD边以1cms的速度运动；点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设动点的运动时间为ts，则当t为何值时，四边形APQD是矩形？数学理解14.如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，重合部分是什么图形？试说明理由.15.如图，把两个大小完全相同的矩形拼成“L”形图案，求ACF，AFC的度数.ADBCADCBFE（第14题）16.小颖在商店里看到一块漂亮的方纱巾，非常想买，但当她拿起来时，又感觉纱巾不是正方形.商店老板看她犹豫的样子，马上过来将纱巾沿对角线对折，让小颖检验（如图）.小颖还是有些疑惑，老板又将纱巾沿另一条对角线对折，让小颖检验.小颖发现这两次对折后两个对角都能对齐，于是买下这块纱巾.你认为小颖买的这块纱巾一定是正方形吗？你认为用什么方法可以检验纱巾是不是正方形？ABECDGF（第15题）（第16题）山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社30第六章特殊平行四边形18.你能通过剪切和拼接下列图形得到一个矩形吗？在这些剪拼的过程中，剪下的图形是经过怎样的运动最后拼接在一起的？（1）平行四边形；（2）三角形.问题解决联系拓广19.将相应的条件填在相应的箭头上，使得下图能清楚地表达几种四边形之间的关系.20.已知两条对角线，利用尺规作一个菱形.21.如图，画一个矩形EFGH，并满足下列条件：（1）点A，B，C，D分别在矩形EFGH的四条边上；（2）S矩形EFGH=2S四边形ABCD.四边形平行四边形正方形矩形菱形（第19题）（第21题）ACDB17.已知：如图，ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形.CDABHFGE（第17题）山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社1二次根式31一个正方形的面积为S，它的边长可以用S表示.一个物体从高度为hm的高处自由下落，如果不考虑空气的阻力，那么物体从开始下落到刚好落地所用的时间可以用式子h4.9s来表示.在数学和其他自然科学中，常常会遇到含有二次根式的式子，这就是本章我们所要研究的二次根式.第七章二次根式学习目标了解二次根式的概念探索二次根式的性质，会用二次根式的性质化去根号内的分母了解最简二次根式、同类二次根式的概念了解二次根式加、减、乘、除的运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社32第七章二次根式1二次根式议一议（1）正方形的面积为2，它的边长是多少？面积为3呢？面积为S呢？（2）正方形的面积为S，如果把它的面积增加1，新正方形的边长是多少？（3）观察问题（1）（2）所得到的式子，你发现它们有什么共同特点？式子2，3，S，S+1的共同特点是：它们都是形如a的式子，并且被开方数都是非负数.一般地，形如a（a0）的式子叫做二次根式（quadraticradical），其中a叫做被开方数.我们知道，a（a0）表示a的算术平方根，所以a（a0）是一个非负数，根据算术平方根的定义，它的平方等于a.用式子表示，就是a0（a0），（a）2=a（a0）.例1a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1）a+1；（2）1-3a.解：（1）如果a+1有意义，那么a+10.解不等式a+10，得a-1.所以，当a-1时，a+1在实数范围内有意义.（2）如果1-3a有意义，那么1-3a0.解不等式1-3a0，得山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社山东教育出版社1二次根式33a13.所以，当a13时，1-3a在实数范围内有意义.例2计算：（1）（2.1）2；（2）（23）2.解：（1）（2.1）2=2.1；（2）（2