5.1.4 等式与方程u 教学内容：教科书第7677页例1、例2、例3，教材第77页课堂活动及教材第7778页练习十九第15题。u 教学提示：这部分主要包括：用字母表示数的意义和方法、简易方程的概念和解方程的方法、用方程解决问题。通过“议一议”对方程概念、等式性质整理的教学，主要是通过提出引导性问题启发学生自主回忆和思考，并结合适当的、有针对性的练习加以巩固。包括等式和方程的意义及其两者的联系和区别，等式的基本性质。例1：涉及到用字母表示数和用字母表示数量关系，通过本例题的教学，可以使学生对用字母表示数有更深刻的理解，促进学生抽象思维能力的发展，为列方程解决问题打下良好的基础。教学时，首先可以采用适当的形式创设情境引出问题，然后让学生独立解决例题中的两个问题，最后让学生开展交流。可以通过一定的练习复习用字母表示运算定律、公式、计算法则，以及字母与字母、字母与数字相乘的书写形式等。例2是复习解方程，可以让学生自主解方程后交流解法。在交流时，重点强化如何根据方程的特点运用等式的性质解方程。例3是对列方程解决问题的复习。教学时，可以让学生独立解决再交流，交流时应重点强化学生对找等量关系的分析。u 教学目标：1.知识与技能：在具体情境中会用字母表示数，会用方程表示简单情境的等量关系。进一步理解等式的性质，会用等式的性质解简易的方程。2.过程与方法：引导学生通过回忆、讨论、交流，结合练一练，加深对所学知识的理解，提高掌握水平。3.情感、态度与价值观：在运用方程解决实际问题的过程中，体会到列方程解决问题在某些情况下的优越性，从中感受到数学的应用价值。u 重点难点：教学重点：会用方程表示简单情境中的数量关系，能熟练地解简单的方程。教学难点：能用方程解决问题，提高解决问题的能力。u 教学准备: 教具准备：多媒体课件学具准备：数量关系收集卡等u 教学过程：（一）新课导入谈话：同学们，方程对于我们来讲并不陌生，说一说你对方程的知识都有哪些了解？你认为自己对有关方程的哪些知识掌握的比较好?预设（生：解方程，大部分学生回答）是吗？我要出一道题考考大家。（师板书：3x+7=22）【设计意图：这是一道既包含运用等式性质一又包含运用等式性质二解方程的题目，为下面复习方程的意义，等式的性质，用字母表示数，方程的解，解方程，检验等数学概念进行铺垫，这样既给学生设置复习坡度，又复习了已经学过的概念，与此同时也让学生理解了概念背后的知识。】（二）知识梳理1.教学议一议（1）你能举出一些字母表示数和数量关系的例子吗？（2）什么是方程？方程与等式有什么联系和区别？（3）什么是方程的解？什么叫解方程？（4）你对等式的性质有哪些了解？先让学生在小组内议一议，再组织学生进行全班交流。通过全班交流，师引导学生归纳总结。用字母表示数或数量关系的例子：一件商品单价a元，买4件这样的商品一共需要4a元 S=vt S=r 方程：含有未知数的等式叫做方程。方程一定是等式，但是等式不一定都是方程。方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。求方程的解的过程叫做解方程。等式的性质：性质1：等式两边同时加上相等的数或式子，两边依然相等。若a=b那么有a+c=b+c性质2：等式两边同时乘（或除）相等的非零的数或式子,两边依然相等。若a=b 那么有ac=bc 或ac=bc （a、b0 或 a=b ，c0）2.教学例1（1） 出示例1，引导学生获取信息。（2） 独立思考，独立完成例1第（1）小题。（3）小组内交流、讨论。小组汇报：他这次北京之行的伙食费为：6b元。教师根据学生汇报情况给予鼓励性表扬，同时提问：想一想，在一个含有字母的式子里，数与字母，字母与字母相乘，书写时应注意什么？预设：生1：在一个含有字母的式子里，数与字母，字母与字母相乘，乘号可以省略不写或者记作“”。生2：当数字与字母相乘时，一般数字写在前面，字母写在后面，中间的乘号省略不写。（4）学生独立完成例1第（2）小题.先组内交流然后全班交流、订正。抽调学生板演。 这次旅游一共需要的钱数：（4162+4a+6b+600）=（832+4a+6b+600）元教师强调指出：在一个含有字母表示数的式子里有加减关系时，如果式子后面带单位，要不这个式子用括号括起来。3.教学例2(1) 出示例2。(2) 先让学生说一说，解方程的依据是什么？再让学生独立解决，并指名演板，全班交流。小组展示：3x+6=7 2x5-1.5=1.5解：3x+6-6=7-6 解： 2x5-1.5+1.5=1.5+1.53x = 1 2x5=33x3 = 13 2x =15x= x=7.54.教学例3出示例3，引导学生认真审题，从题目中获取相关信息。问：根据题意你能说出哪些相等关系？预设：生1：已行的路程+未行的路程=总路程生2：总路程-已行的路程=未行的路程生3：路程=时间速度问：你能根据上面的相等关系列出方程吗？学生独立完成，小组内交流。小组汇报，指名演板，全班交流。3x+72=912x=280说一说：怎样检验结果是否正确？学生思考后回答。引导学生总结列方程解应用题的步骤：审题 找出相等的数量关系式 设未知数列出方程 计算并检验【设计意图：找出数量间的相等关系是列方程解应用题的难点，因此我在教学时先让学生找出题目中的相等关系，然后再让学生根据相等关系列方程求解，这样处理降低了难度，突破了列方程解应用题的瓶颈，收到了理想的效果。】（三）巩固新知学生独立完成课堂活动第1题，第（1）小题的字母表示数，这里首先要设出一个适当的未知数，然后在用字母表示出码数与厘米之间的关系，第（2）小题是一道开放性的题目，学生可根据自己的实际情况计算。学生独立完成课堂活动第2、3题，先在小组内交流，然后全班交流，集体订正。（四）达标反馈1.填一填。（1）妈妈给明明a元，明明买了m个笔记本，还剩b元，每个笔记本( ) 元。（2）一块长方形花坛的面积是 120平方米，长x米，宽 （ ）米。（3）三年级植树68棵，六年级比三年级多植x棵，那么68x表示 （ ）。2.解方程：x0.751.25 xx8.1 40.7x102 3.六年级三个班共有51人，一班的人数是二班的，三班的人数是二班的，六年级二班有多少人？答案：1.（1）（a-b)m （2）120x （3）六年级植树的棵数2.x1 x9 x140 3.解：设六年级二班有x人 x+x+x=51 x=20（五）课堂小结今天我们研究的课题是等式与方程的复习，同学们都有哪些收获和不足，请说出来和大家共同分享。【设计意图：通过学生总结本课所学内容收获与不足，可以使学生对等式与方程的相关知识有一个系统的认识，使学生更加牢固的掌握等式与方程的相关知识。】（六）布置作业1.判断题。（对的在括里面打“”，错的在括号里面打“”）（1）含有未知数的式子叫方程。 （ ）（2）x=9是方程。 （ ）（3）方程一定是等式。 （ ）（4）a是自然数则2a+1一定是奇数。 （ ）2.解方程x5=18 3x+x=11 x+ 60x = 32 3.解决问题。水果商店原来有水果1500千克，其中苹果占总数的25%后来又购进一些苹果，这时苹果占水果总数的40%,后来又购进多少千克苹果？答案：1.（1）（2） （3）（4）2. x=90 x=3 x = 20 3.解：设后来又进了x千克苹果 （1500+x)（1-40%）=1500（1-25%） x=375u 板书设计等式与方程用字母表示数的意义 等式 等式的性质：性质1：等式两边同时加上相等的数或式子，两边依然相等。 性质2：等式两边同时乘（或除）相等的非零的数或式子,两边依然相等。方程：含有未知数的等式叫做方程。 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。求方程的解的过程叫做解方程。方程与等式的关系：方程一定是等式，但是等式不一定都是方程。u 教学资料包（一） 教学精彩片段等式与方程（教学片断）教学内容：教科书第76页例1等。1.怎样用字母表示数的复习教师：我们知道，用字母可以简明地表达数量关系、运算定律和计算公式，为研究和解决问题带来了很多方便。想一想，在一个含有字母的式子里，字母与数字、字母与字母相乘应该怎样书写？如a乘2.5可以怎样写？用S表示三角形的面积，用a表示三角形的底，用h表示三角形的高，你可以怎样表示三角形的面积公式？学生：数字与字母相乘，可以省略乘号，但数字必须写在前面，如a2.5可以这样写：2.5a。学生：字母与字母相乘，可以省略乘号，如三角形的面积公式：S=12ah。2.用字母表示数的应用情景（教师口述）：暑假快到了，辛苦了一学期的刘老师准备利用假期到北京去旅游。刘老师预计去北京有以下几方面的费用开支（出示下表）：教师：据刘老师调查，他去北京的火车票是每张416元，其他开支包括在北京的交通、购物等费用，预计600元（随着教师的口述，一并在上表中出示这两个数据）。其他的开支，刘老师还没有确定，你能用字母表示吗？随着学生说，教师在上表中分别出示a，b。于是上表变成教师：如果刘老师在北京游览4天，根据表中的信息，你能提出哪些数学问题？预计学生可能提出的问题有：（其中天数不一定是4天，只要恰当即可）学生：刘老师在北京游览4天的住宿费要多少？学生：刘老师在北京游览4天的伙食费要多少？学生：刘老师在北京游览4天，他这次北京之行的全部费用是多少？学生独立解决第三个同学提出的问题，再交流。学生可能这样说：刘老师北京之行的费用就是要把火车费、住宿费、伙食费和其他开支加起来，乘火车的费用是4162832元，住宿费是4a元，伙食费是6b元（含在火车上2天），所以北京之行的总费用应是：8324a6b600。教师：式子中的a,b可以代表多少呢？学生：a,b是字母，可以代表任何数。教师：可以代表任何数，真的随便哪个数都可以吗？学生：不对，a,b在这里是代表刘老师每天在北京的住宿费和伙食费，因此它代表的数要符合实际。教师：你们认为a,b在这里应是多少合适呢？请根据你的理解和对北京生活的了解，给刘老师确定一个标准，并算出刘老师北京之行究竟需要多少钱。并说说你这样确定的理由。学生独立解决后交流可能出现：学生：北京的生活很高，但考虑到刘老师的经济不太宽余，标准不能定得太高，所以，我给刘老师的住宿费确定的标准是每天80元，生活费平均每天定为40元。因此算出刘老师北京之行的费用是：8324806406001992元。学生：我想给刘老师的住宿和生活定高一点，因为教师：你认为刘老师在北京游览4天合适吗？如果不合适，请你确定一个天数，并用含有字母的式子表示刘老师北京之行的费用。【设计意图：让学生利用已有知识在情景中用字母表示数，这样不但符合学生的实际学习状况，也使他们感受到用字母表示数的应用价值，同时，还能有效地促进学生的数学思考，提高学生用数学语言刻画现实世界的能力；给学生自主的空间，培养学生的实践能力。】（二） 数学资源1.填空题。（1）使方程左右两边相等的（ ），叫做方程的解。（2）求（ ）的过程叫做解方程。（3）小明买5支钢笔，每支a 元；买4支铅笔，每支b 元一共付出（）元。2.判断题。（对的在括里面打“”，错的在括号里面打“”）（1）含有未知数的式子叫做方程。 （ ） （2）4x+5 、6x=8 都是方程。 （ ）（3）18x=6 的解是x3。 （ ） （4）等式不一定是方程，方程一定是等式。 （ ）三、选择题。（1）下面的式子中，（ ）是方程。A.25x B.15312 C.6x16 （1）方程9.5x =9.5的解是（ ）。A.x9.+5 B.x19 C.x0（1）x 3.7是下面方程（ ）的解。A.6x 915 B.3x 4.5 C.14.8x 44.解方程。52x 15 913.5x 1.3 x +8.3=10.7 15x 3答案:1.（1）等式 （2）方程的解 （3）5a+4b 2. （1）（2）（3）（4）3.（1）C （2）C （3）C4. x=74 x=20 x=6 x=0.2资料链接“方程”的由来 同学们，我们已经知道了方程的意义。但是，“含有未知数的等式”丝毫没有“方”的意思，为什么叫做“方程”呢？ 要说明“方程”的由来，先得从我国古代的“筹算”说起。我们现在都用拉丁字母表示数，用阿拉伯数字写数。可是我国古代的人们既不知道拉丁字母，也不认识阿拉伯数字。他们是用“算筹”记数的。你看这个“算”字多有意思！上面是“竹”字，下面是“具”字，所以，“算”就是“竹制的计算工具”。从汉朝开始，人们用竹子制成许多长六寸（合现在的4.15市寸）的小竹棒，这些小竹棒就叫“算”，或者叫“筹”，我们现在把它叫做“算筹”，用算筹来计算的方法叫做“筹算”。 那么算筹又怎样表示方程呢？公元 263年，数学家刘徽所注九章算术一书里有一个例子：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两。问牛羊各值金几何？”刘徽就是用算筹表示出上面的问题的，要写成现在的方程，就得先设未知数，用x表示一头牛的价钱，用y表示一只羊的价钱，就得到： 5x2y = 10（右行） 2x5y = 8（左行） 这是两个方程所组成的方程组，这种方程组要在初中数学才学到。 现在小朋友该明白了：在“方程”这个词里，“方”就是“列筹成方”的意思，刘徽用算筹列出的方程不就是把算筹摆成了一个长方形吗？“程”就是“课程”，所以“方程”就是“列筹成方的课程”。 方程的英语是 equation，就是“等式”的意思。这里当然不会有“方”的含义。清朝初年。中国的数学家把 equation 译成“相等式”，到清朝咸丰九年（公元1859年）才译成“方程”。从这时候起，“方程”这个词就表示含有未知数的等式，而刘徽所说的“方程”就叫做“方程组”了。刘徽 刘徽是中国古代最伟大的数学家之一 他是三国时代魏国人，籍贯山东，生卒年不详，约死于西晋初年刘徽出身平民，终生未仕，称为“布衣”数学家。 刘徽在童年时代学习数学时，是以九章算术为主要读本的，成年后又对该书深入研究，于元263年左右写成九章算术注，刘徽自序说：“徽幼习九章，长再详览 观阴阳之割裂，总算术之根源。探赜之暇，遂悟其意，是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注。刘徽在研究九章算术的基础上，对书中的重要结论一一证明，对其错误予以纠正，方法予以改并提出一些卓越的新理论、新思想九章算术注是刘徽留给后世的十分珍贵的数学遗产，是中传统数学理论研究的奠基之作。 刘徽还著有重差一卷，专讲测量问题他本来把重差作为九章算术注的第十卷，代初年改为单行本，并将书名改作海岛算经，流传至今。 从刘徽著作来看，他学风严谨，实事求是，而且富于批判精神，敢于创新，理论研究相当深入堪称数学史上的一代楷模