第3单元 正比例和反比例例题1：数学课上文老师出了一道填数题：（）（）小丽马上举手回答：“填0，左边00，右边00，左边右边”小明也举手回答：“根据乘法的交换律，左边填，右边填，左边右边”。（1）你能在横线中填出其他适当的数吗？（）（） （）（）（）（） （）（）（2）你认为可以填多少对数？将你的填数方法用文字表述出来。解析：可以利用比例的基本性质解决本题：（1）我可以令算式的结果分别等于1、2、3、4，分别求出括号里需要填的数即可；（2）先把算式设为ab，根据比例的基本性质，然后找出a、b之间的关系即可。解答：（1）55 1081512 2016（2）设算式为：ab 所以: b:a:4:5也就是ba, 即第二个括号里的数是第一个个括号里的数的。例题2：买笔记本的数量和钱数的关系如下表：数量Z本0l234567总钱数/元01.534.567.5（1）将表格补充完整，根据表中的数据，在图中描点再顺次连接。（2）哪个量没变？数量和总价之间成什么比例？（3）从图中可以看出，如果买9本笔记本，需要多少元钱？解析：此题涉及的知识点是：绘制折线统计图的方法，以及成正比例关系的量的特点。（1）观察表格中的数据，可知：每本的价格是1.5元，由此可以完成上表，从而完成统计图；（2）根据数量和总价之间的变化关系得出数量与总价成正比例的特点；（3）将题中给出数据，代入数据即可计算得出。解答：（1）根据题意可知：每本的价格为1.5元，由此可完成下表：数量Z本0l234567总钱数/元01.534.567.5910.5根据表格中数据可在下图中描点连线，得出统计图如下图：（2）单价没有变，数量与总价之间成正比例。（3）91.513.5（元），答：单价不变，数量与总价之间成正比例，如果买9本笔记本，需要13.5元。例题3：同学们做早操，每行站的人数与站的行数关系如表：每行站的人数8l2l62448站的行数60403020l0解析：（1）写出几组对应的行数和每行站的人数的乘积，并比较它们的大小。（2）这个乘积表示什么意义？用关系式表示它与以上两种量之间的关系。解答：（1）8601240163024204810480（人）；（2）行数和每行站的人数的乘积表示总人数，行数每行站的人数总人数，所以行数和每行站的人数成反比例关系。例题4：观察下面两个表格，并回答问题。（1）抢运救灾物资卡车的载重量和需要卡车的数量如下表卡车载重量/吨2451020需要卡车数量/辆502520105（2）用同样的卡车抢运救灾物资的吨数和需要卡车数量如下表物资总重量/屯1525303540需要卡车数量/辆35678根据表中信息，分别用数量关系式表示每个表中两个相关联的量之间的关系，再判断哪两个量成正比例，哪两个量成反比例。解析：此题属于辨识成正、反比例的量，判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。解答：（1）因为：502100，254100，205100，1010100，1020100，由此可以得出：车辆的载重量所需车辆的数量这批救灾物资的总重（一定），所以卡车的载重量与所需车辆的数量成反比例；（2）因为1535，2555，3065，3575，4085，由此可以得出：物资总重量需要卡车的数量每辆卡车的载重量（一定），所以物资总重量和需要卡车的数量成正比例。例题5：江叔叔自驾车去中国最美的乡村-婺源游玩，下面是他驾车从“小桥流水人家”景区到“卧龙谷”景区行驶路程与耗油量之间的关系统计表。路程/千米l020304050耗油量/升l2345（1）在如图中描出表示路程和对应耗油量的点，然后把它们按顺序连起来（2）行驶路程与耗油量成什么比例？为什么？（3）“小桥流水人家”景区到“卧龙谷”景区的路程有75千米，汽车行驶需耗油多少升？（用比例解）（4）游玩完“卧龙谷”景区后，江叔叔还想去60千米外的“鸳鸯湖”景区参观，此时油箱里大约还剩下30升油，他游完“鸳鸯湖”后，返回“小桥流水人家”中途他需要加油吗？（直接口答）解析：（1）首先要根据统计表中的数据，描出5个点，再连线。（2）如果两种相关联的量，它们的比值是一定的，那么它们就成正比例关系（3）设需要耗油X升，由题意得：75：X10：1，解出即可。（4）算出从“卧龙谷”到“鸳鸯湖”需要多少升油，然后乘以2再加上（3）求出的7.5，算出的得数，与30比较。解答：（1）根据统计表中的数据，描出5个点，连线如下：（2）10（一定），所以行驶路程与耗油量成正比例答：行驶路程与耗油量成正比例。（3）设需要耗油X升，由题意得：75:X10:110X75X7.5答：汽车行驶需耗油7.5升。（4）他不需要加油。60106（升）62+7.512+7.519.5（升）19.530答：他中途不需要加油。例题6：同一时间、同一地点测得树高和影长的数据如表：树高/m2346影长/m1.62.43.24.8(1）在图中描出表示树高和对应影长的点，然后把它们连起来。（2）连线以后观察，它们是在一条直线上吗？说明树高和影长成什么比例关系？（3）不计算，利用图象判断，树高8米时，影长是多少米？影长4米时，树高多少米？解析：（1）先依据所给数据描出对应点，进而可以连接各点，再观察图象的特点即可；（2）通过图象特点，即可发现规律；（3）依据树高和影长的比例关系，即可判断树高8米时，影子的长度；以及影长4米时，树高的长度。解答：（1）所作图象如下图，观察发现：表示树高和对应影长的点，都在一条直线上。（2）连线以后，发现表示树高和对应影长的点，都在一条直线上，这说明树高和影长成正比例关系，因为随着树的高度的增加，影长也在增加，且树高与影长的商是一定的，所以树高和影长成正比例关系；（3）设树高8时，影长为x米，影长4m时，树高y米，则有2:1.68:x2x81.62x12.8x6.4；2:1.6y:41.6y421.6y8y5答：树高8m时，影长6.4米，影长4m时，树高5米。例题7：一辆汽车从甲地到乙地，计划每时行50千米，8时到达。但实际上3时就行了240千米，照这样的速度，汽车一共几时就可以到达乙地? (要求:先用正比例的方法解答，再用反比例的方法解答。)解析：首先找出题目中的两种相关联的量，然后分别按照正比例的意义和反比例分意义列出算式，由此解决问题。方法一:用正比例的方法解答。因为路程时间速度（一定），所以速度一定，路程和时间成正比例。方法二：用反比例的方法解答因为速度时间路程（一定），所以路程一定，速度和时间成反比例。解答：方法一：设汽车一共行x时就可以到达乙地。240 : 3（508）: x240x1200x5答：汽车一共5时就可以到达乙地.方法二：设汽车一共行x时就可以到达乙地，由题意可得（2403）x50880x400x5答：汽车一共5时就可以到达乙地.例题7：观察下面两个关于购买方便面的统计表.回答问题。第一个统计表：数量（包）51015总价（元）7.51522.5上表中。购买方便面的数量和总价是怎样变化的?它们成什么比例?第二个统计表：单价（元/包）1.21.82.4数量（包）302015上表中，购买方便面的单价和数量是怎样变化的?它们成什么比例?议一议:当总价一定时，单价和数量成什么比例?当数量一定时，总价和单价成什么比例?当单价一定时，总价和数量成什么比例?解析：观察第一个统计表，发现随着购买数量的增加，总价也在不断地增加，数量越少，总价越少。由1.5，1.5，1.5，可以看出单价（一定），由此可以判断购买数量和总价成正比例。第二个统计表，发现购买方便面的单价越高，购买的数量越少，单价越低，购买的数量越多，即单价X数量总价(一定)，也就是说在总价一定时，单价和购买数量成反比例。0.74028,1.42028,2.81028，可以看出单价数量总价（一定），所以当总价一定时，单价和数量成反比例。根据上述分析可以知道正比例和反比例的异同点：相同点：1都有两种相关联的量。2一种量随着另一种量变化。3都必须有一个量一定。不同点：正比例：1.变化方向相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小相同的倍数；2.相对应的两种量的比值(商)一定。反比例：1.变化方向相反，一种量扩大或缩小，另一种量反而缩小或扩大相同的倍数；2、相对应的两种量的积一定。解答：(1)当总价一定时，单价和数量成反比例;(2)当数量一定时，总价和单价成正比例;(3)当单价一定时.总价和数量成正比例